ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормальные формы особенностей в задаче об обходе препятствия из "Особенности каустик и волновых фронтов " Кратности критических точек функции длины чётны. [c.261] Доказательство нетрудно усмотреть из рис. 114 простейшей особенностью функции длины от 1 переменной является кубическая А ) особенность, так как функция монотонна. [c.262] Кратности более сложных особенностей функции длины равны удвоенному числу простейших (Л2) особенностей, на которые исходная особенность рассыпается после небольшого шевеления (считая, разумеется, и комплексные особенности). [c.262] В пространствах версальных деформаций функций с простыми критическими точками О.П.Щербак нашёл (максимальные) страты функций, критические точки которых имеют чётные кратности. [c.262] Замечание. Деформация 2 содержит ещё одно максимальное подсемейство (эквивалентное подсемейству, указанному в списке). Деформации Ее и Е содержат также и особые подсемейства (отсутствующие в других случаях). [c.262] Простое лагранжево отображение произведения раскрытого ласточкина хвоста произвольной размерности на гладкое многообразие локально эквивалентно одному из отображений Ек, ilk, Нк или тривиальной надстройке одного из них). [c.263] Замечание. Примыкания этих особенностей изображены на рис. 115. Последовательность Щ, Нз, Н4) соответствует одномерному раскрытому ласточкину хвосту, то есть полукубической параболе. Соответствующее лагранжево многообразие имеет полукубическое ребро возврата. Следующая последовательность (Нз, П4) соответствует двумерному раскрытому ласточкину хвосту. Левая последовательность ( 1, 2, Аз) соответствует нульмерному раскрытому ласточкину хвосту, то есть гладким лагранжевым многообразиям. Эти проектирования имеют обычные лагранжевы особенности, рассмотренные в 1.3. [c.263] Используя естественные симплектическую и контактную структуры пространств многочленов, мы можем представить нормальные формы Н и теоремы 2 в несколько изменённом виде. [c.263] Многочлены, имеющие корень кратности, превыщающей п, образуют лагранжево многообразие — раскрытый ласточкин хвост размерности п. [c.264] Проектирование раскрытого ласточкина хвоста вдоль слоёв этого расслоения является лагранжевым отображением. [c.264] Теорема 3. Любое типичное лагранжево проектирование локально приводимо к указанному выше виду локальным симплектоморфизмом, сохраняющим раскрытый ласточкин хвост (в некоторой окрестности его вершины). [c.264] Например, проектирование Н +1 из теоремы 2 приводимо к зтой нормальной форме. [c.264] Соответствующая каустика (образованная проекцией особых точек раскрытого ласточкина хвоста, так как в зтом случае лагранжево многообразие нигде не касается слоёв) является обычным ласточкиным хвостом размерности п — 1 (это проектирование эквивалентно кратному дифференцированию многочленов). [c.264] Проектирование нашего цилиндра вдоль слоев этого расслоения — лагранжево отображение. [c.264] Теорема 4. Любое типичное лагранжево расслоение, слой которого имеет общее касательное направление с цилиндром в точке линии вершин, локально приводимо к указанному выше виду сохраняющим цилиндр симплектоморфизмом. [c.264] Например, проектирование 12 +1 из теоремы 2 может быть приведено к зтой нормальной форме. [c.265] Пример. При п — 2 в 3-пространстве кубических многочленов с единичным старщим коэффициентом мы начинаем с поверхности из многочленов, имеющих кратные корни. Она может быть спроектирована на горизонтальную плоскость вдоль семейства вертикальных прямых (см. рис. 92). Касательная плоскость к цилиндру в некоторых точках его ребра возврата вертикальна. Бифуркационной диаграммой проектирования Сз является кривая на горизонтальной плоскости, состоящая из проекции ребра возврата цилиндра и проекции касательной плоскости к цилиндру (в точке, где эта плоскость вертикальна). [c.265] При любом п бифуркационная диаграмма проектирования С +1 есть множество ( ,.. , Ьп-1, +1) 1 существует Ь такое, что многочлен (2) либо имеет корень, кратность которого больше 2, либо нулевой корень (6 +1 =0) . [c.265] Фронт лежандрова многообразия, задаваемого семейством функций (как в теореме 1), является бифуркационной диаграммой нулей семейства (или, что зквивалентно, графиком многозначной функции параметров семейства, значения которой равны критическим значениям функций семейства, соответствующим данным значениям параметров). [c.266] Теорема 5 ([8]). Любые два голоморфных векторных поля, трансверсальных бифуркационной диаграмме нулей любого из семейств 3, ft, Н см. теоремы 1, 2), приводимы друг к другу локальным голоморфным диффеоморфизмом объемлющего пространства, сохраняющим бифуркационную диаграмму. [c.266] Вернуться к основной статье