ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Оглавление Топология лагранжевых включений из "Особенности каустик и волновых фронтов " Рассмотрим отображение гладкого многообразия в симплектическое пространство. Такое отображение называется изотропным, если оно индуцирует нулевую форму из симплектической структуры. [c.150] Пример. Иммерсия лагранжева многообразия (или его подмногообразия) является изотропным отображением. [c.150] Естественным путём определения особых лагранжевых многообра зий является рассмотрение изотропных отображений многообразий, имеющих подходящую размерность (равную половине размерности объемлющего симплектического многообразия). Такое отображение называется лагранжевым включением, если его особые точки образуют подмногообразие меньшей размерности. [c.150] Гивенталь в [141] назвал зту поверхность раскрытым зонтиком. Её проекция в 3-пространство вдоль рг-оси есть обычный зонтик Уитни-Кэли. [c.150] Раскрытый зонтик является лагранжевой поверхностью с единственной особой точкой. Эта точка может быть сглажена в классе всех поверхностей в 4-пространстве (так как пересечение этой поверхности с малой 3-сферой с центром в особой точке незаз злено). Однако, эта особенность не может быть сглажена в классе лагранжевых подмногообразий, так как индекс Маслова петли, охватывающей особую точку, не равен нулю (в зависимости от ориентации он равен 2). [c.150] Гипотеза Гивенталя. Лагранжевы включения поверхностей, единственными особенностями которых являются раскрытые зонтики и, разумеется, самопересечения), плотны в пространстве всех лагранжевых включений. [c.151] На уровне струй, плохое множество в этой проблеме имеет коразмерность 7, следовательно, кажется убедительным предположение о том, что типичное лагранжево вложение размерности 2 не пересекает его. Однако, доказательство не может быть сведено к обычным аргументам трансверсальности, так как уравнение, определяющее изотропное вложение f uJ = О, где / — вложение, а,ш — симплектическая форма), квадратично по отношению к /. [c.151] Таким образом, в гипотезе рассматриваются типичные отображения в многообразие, заданное системой квадратичных однородных уравнений. Это многообразие является очень вырожденным конусом, который может иметь компоненты различных размерностей. Можно дать много, априори неэквивалентных, естественных определений типичности отображений в этот конус (эта же сложность встречается в проблеме классификации типичных алгебр Ли данной размерности, в которой тождество Якоби — система квадратичных уравнений). [c.151] Возможно, простейшей проблемой такого типа является задача классификации типичных отображений из плоскости в плоскость, якобиан которых тождественно равен нулю. [c.151] Раскрытый зонтик появляется в теории систем лучей в следующей ситуации. Рассмотрим гиперповерхность 2п-мерного симплектического пространства и (п — 1)-мерное изотропное подмногообразие в этой гиперповерхности (мы будем называть его начальным многообразием). [c.151] Лучи (характеристики гиперповерхности), проходящие через точки начального многообразия, образуют (локально) подмногообразие в (2п — 2)-мерном симплектическом многообразии характеристик. Это подмногообразие изотропно и в общем случае [п — 1)-мерно. При п = 3 это подмногообразие является лагранжевым включением поверхности. В [8] Гивенталь доказал, что единственными особенностями соответствующих лагранжевых включений являются раскрытые зонтики (при условии, что начальное многообразие принадлежит некоторому открытому и плотному множеству в пространстве всех подмногообразий размерности п - 1). [c.151] Пример. Полукубическая парабола на плоскости является одномерным раскрытым ласточкиным хвостом. Двумерный раскрытый ласточкин хвост в 4-пространстве многочленов пятой степени изображён на рис. 10. [c.152] Естественная проекция (определяемая кратным дифференцировав нием многочленов) отправляет 2тп-мерное пространство многочленов степени 2т - - 1 в (т - - 1)-мерное пространство многочленов степени т + 2. Этой проекцией раскрытый ласточкин хвост размерности т отображается на обычный тп-мерный ласточкин хвост (образованный многочленами, имеющими кратный корень). Это отображение однозначно везде, за исключением линии самопересечения ласточкина хвоста (при п = 2). Каждая точка этой линии, за исключением вершины ласточкина хвоста, имеет 2 прообраза на раскрытом ласточкином хвосте. Топологически раскрытый ласточкин хвост гомеоморфен евклидову пространству. Этот гомеоморфизм сохраняет все особенности обычного ласточкина хвоста, за исключением самопересечений. Таким образом, поднятие обычного ласточкина хвоста на раскрытый (топологически эквивалентное нормализации в алгебраической геометрии) упрощает топологическую структуру и разрезает некоторые петли в точках самопересечения. Название раскрытый как раз и отражает этот факт. Как мы увидим ниже, раскрытые ласточкины хвосты управляют особенностями систем лучей на препятствии. Здесь же мы используем эти тп-мерные особые лагранжевы многообразия для определения раскрытых зонтиков. Забудем про симплектическую структуру объемлющего 2т-мерного пространства. Конормальйое расслоение т-мерного раскрытого ласточкина хвоста лежит в 4тп-мерном симплектическом пространстве кокасательного расслоения над пространством многочленов. Это многообразие лагранжево, чётной размерности 2т, оно является образом лагранжева включения. [c.152] Особенности 2т-мерного раскрытого зонтика образуют флаг подмногообразий чётных размерностей, причём 2 -мерное подмногообразие этого флага изоморфно 2А -мерному раскрытому зонтику. [c.153] Возвращаясь к системам лучей, рассмотрим обычную ситуацию систему нормалей к гиперповерхности в евклидовом пространстве, или систему характеристик уравнения Гамильтона-Якоби, соответствующих данным начальным значениям неизвестной функции, ограниченной на гиперповерхность в конфигурационном пространстве. [c.153] В этом случае типичные граничные условия определяют лагранжево подмногообразие, трансверсально пересекающее гиперповерхность (задающую уравнение Гамильтона-Якоби). Следовательно, соответствующая система лучей является иммерсированным лагранжевым подмногообразием пространства лучей, не имеющим особенностей типа раскрытых зонтиков. [c.153] Из этой формулы вытекает, что точка самопересечения или 2 вершины раскрытых зонтиков могут рассматриваться как антиручка . Действительно, в некоторой окрестности любой точки вложенного лагранжева многообразия мы можем приделать малую лагранжеву ручку, на которой есть либо точка самопересечения, либо 2 раскрытых зонтика. Получившееся особое лагранжево многообразие также вложено (в случае зонтиков ручка нарушает ориентацию). [c.154] Эта конструкция может даже сохранять точность многообразия если исходное лагранжево многообразие является проекцией лежандрова, то прикрепление ручки может быть произведено таким образом, что полученное лагранжево многообразие также является образом проекции особого лежандрова многообразия. [c.154] Ручки могут быть описаны в терминах фронтов, соответствующих точным лагранжевым многообразиям в R = T R . Во первых поднимем многообразие до лежандрова подмногообразия в (R , R), a затем спроектируем его в 3-пространство J°(R , R) = R . Образ этой проекции и есть фронт. [c.154] Фронт типичной гладкой лагранжевой поверхности имеет только полукубические рёбра возврата и ласточкины хвосты. Касательная плоскость нигде не вертикальна (трансверсальна слоям естественного расслоения J°(R ,R) -и- R ). Самопересечения лагранжевой поверхности соответствуют вертикальным хордам фронта, в конечных точках которых касательные плоскости к фронту параллельны. [c.154] Вернуться к основной статье