ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Глобальные свойства особенностей из "Особенности каустик и волновых фронтов " Нетрудно видеть, что эта функция должна быть положительна, и что центр масс сферы (при распределении массы, заданном этой функцией) должён совпадать с её геометрическим центром. Глубокая теорема (Минковского, А.Д.Александрова, Погорелова.) утверждает, что такое восстановление выпуклой поверхности по данной гауссовой кривизне на гауссовой сфере возможно. [c.147] Таким образом, в общем случае гауссова кривизна на М должна заменяться якобианом J = (/ ш)/г отображения /. Тогда возникает проблема какие функции на М являются якобианами гладких отображений из М,т) в стандартную сферу Разумеется, интеграл от такой функции должен равняться объёму стандартной сферы. Образ множества J О должен покрывать сферу. Но существуют ли другие ограничения Подобные проблемы возникают и для произвольных лагранжевых отображений [гауссово отображение — только частный случай таких отображений), и для гауссовых отображений иммерсированных или вложенных гиперповерхностей). [c.147] Теорема. Любая типичная точная 2-форма на 2-сфере индуцирована элементом площади евклидовой плоскости при помощи типичного гладкого отображения сферы на плоскость. [c.148] Рассмотрим нули данной точной 2-формы общего положения. Первое условие общности положения требует, чтобы эти нули образовывали гладкую кривую (если форма записывается в виде Ьт, где г — элемент площади, то требование такое О не является критическим значением гладкой функции к). Компоненты зтой кривой делят сферу на области, в которых якобиан сохраняет знак. Второе условие общности положения требует, чтобы интегралы от формы по этим областям были нерезонансными (то есть они не должны удовлетворять конечному множеству линейных однородных уравнений с целыми коэффициентами). Достаточна, например, рациональная независимость этих интегралов. [c.148] Условие общности положения на отображение заключается в том, что оно имеет только расположенные общим образом особенности типа складок и сборок Уитни (из чего следует устойчивость такого отобра жения). [c.148] Определение. Типичным деревом называется граф, вершинами которого являются области, на которых якобиан положительно определён, и рёбра которого соединяют те области, которые разделены компонентами кривой нулей. [c.148] Пример. Дерево стандартной проекции сферы на её экваториальную плоскость записывается следующим образом — , вершинами являются северная и южная полусферы, ребром — экватор. [c.148] Типичная форма на сфере определяет дерево и положительную функцию на этом дереве (то есть на множестве вершин) интегралы вдоль областей, ориентированных формой. Знакочередующаяся сумма значений этой функции равна нулю. Дерево и эта функция являются единственными инвариантами типичной 2-формы на 2-сфере. [c.148] С корнем чётным числом рёбер) и суммой значений в нечётных (остальных) вершинах. [c.149] Любая положительная функция с нулевым дефектом на некотором дереве реализуется некоторой невырожденной 2-формой на 2-сфере. [c.149] Определение. Дефектом корневого дерева называется дефект постоянной функции 1 (то есть разность чисел чётных и нечётных вершин). [c.149] Теорема. Типичная 2-форма на 2-сфере может быть получена из элемента площади на плоскости при помощи отображения, единственными особенностями которого являются складки, если и только если её дерево имеет нулевой дефект. [c.149] Число точек возврата типичного отображения, индуцирующего форму с данным деревом, ограничено снизу удвоенным дефектом дерева. [c.149] В действительности, всегда существует способ так распределить знаки точек возврата, что их число, подсчитанное с учётом знаков, равно удвоенному дефекту дерева [140]. [c.149] А именно, точка возврата положительна, если чётна область, диффеоморфно отображаемая во внутренность рога , образованного критическими значениями в некоторой окрестности этой точки. [c.149] Пример. Корневое дерево о — — , дефект которого равен 1, реализуется отображением (2-сферы на плоскость), изображённым на рис. 71. Обе точки возврата положительны. [c.149] Подобные результаты справедливы для отображений других поверхностей на плоскость, при условии, что компоненты знакоопределённости являются проколотыми дисками. Граф, соответствующий такой форме на ориентируемой поверхности рода д, гомотопически эквивалентен букету д окружностей. Он не имеет нечётных циклов, следовательно его дефект корректно определён. [c.149] Вернуться к основной статье