ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Топология комплексных дискриминантов из "Особенности каустик и волновых фронтов " Естественные стратификации пространств функций и отображений существуют как в вещественном, так и в комплексном случае. Топологические свойства зтих стратификаций важны во многих приложениях теории особенностей например, в теории лакун Петровского для гиперболических уравнений (см. [120]-[122], [80]). Например, возможность акустической связи в нашем 3-пространстве (и невозможность таковой в 2-пространстве) объясняется различием знаков в формуле Пикара-Лефшеца, описывающей ветвление интегралов в комплексной области. [c.132] Дискриминанты комплексных особенностей, будучи гиперповерхностями, не разделяют базу версальной деформации. Комплексной версией понятия края является гиперповерхность ветвления двулистного разветвлённого накрытия (как в теории краевых особенностей, см. [3]). В общем случае, комплексифицированные объекты очень сильно отличаются от своих вещественных версий. [c.132] Было бы очень интересным комплексифицировать теорию гомологий, а также подход с помощью параметрической теории Морса к обобщённым группам Уайтхеда, основанный на стратификации пространства вещественных функций. [c.133] В любом случае, вычисление топологических инвариантов стратификаций вещественных и комплексных дискриминантов полезно во многих приложениях. Здесь мы опишем некоторые из результатов, полученных в этом направлении. [c.133] Пример 1. Дополнение к дискриминанту особенности типа Ак в комплексном пространстве С является пространством Эйленберга-Мак-лейна К (тг, 1) группы Вг(А -Ь 1) кос из А 1 нитей. [c.133] Например, фундаментальная группа дополнения к полукубической параболе в есть группа Вг(3), фундаментальная группа дополнения к поверхности ласточкина хвоста в С — группа Вг(4). [c.133] 1)-свойство (тг = О для г 1) является комплексным аналогом стягиваемости (тг = О при г 0) связных компонент дополнения дискриминанта в вещественном пространстве. [c.133] Таким образом, ветвление различных интегралов, связанных с особенностями типа Ак, управляется представлением монодромии группы кос (являющейся фундаментальной группой дополнения комплексного дискриминанта). [c.134] Появление групп кос в теориях уравнений Бакстера и алгебр Гекке объясняется теми же причинами (см. [123]-[125]). [c.134] Пример 2. Дополнения дискриминантов других простых особенностей являются пространствами К(я,1) для соответствующих комплексных версий групп Вейля. Эти обобщённые группы кос были введены и изучены Брискорном [128]. [c.134] Этот результат справедлив также и для некристаллографических групп Кокстера (дискриминантами которых являются бифуркационные диаграммы соответствующих задач геометрии лучей и фронтов об этом будет сказано ниже, в главе 7). [c.134] Пример 3. Рассмотрим бифуркационную диаграмму семейства функций, состоящую из тех точек в пространстве параметров, для которых число различных критических значений (в некоторой окрестности нуля) меньше типичного (равного числу критических точек, которые стремятся к нулю при стремлении к нулю параметров). [c.134] Для семейства функций 4- -Ь Ьх, зависящего от параметров (а,Ь) е С , графиком критического значения (рассматриваемого как многозначная функция параметров) является ласточкин хвост (рис. 66). Бифуркационная диаграмма является проекцией (вдоль вертикального направления на горизонтальную плоскость) особой кривой ласточкина хвоста. Эта проекция состоит из двух кривых полукубической параболы (проекции ребра возврата) и касательной к этой параболе в её точке возврата (проекции линии самопересечения). Число критических точек, на которые рассыпается исходная критическая точка, равно 3. [c.134] Теорема (Ляшко [127], Лойенга [128]). Дополнения бифуркационных диаграмм функций версальных деформаций простых особенностей являются пространствами К тг,1). [c.135] Упомянутое выше К ж, 1)-свойство справедливо также для каждого открытого страта естественной стратификации бифуркационной диа-Ч раммы простой особенности, а также для некристаллографических трупп отражений. [c.135] КИ на комплексной прямой, нуль которой совпадает с центром масс зтих критических значений. [c.136] Если коразмерность особенности увеличивается, то увеличивается также размерность дискриминанта и сложность его топологии. Тем не менее, имеет место важный феномен стабилизации, всё упрощается в предельном случае бесконечной коразмерности (как это обычно бывает в топологии). [c.136] Вернуться к основной статье