ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Лагранжевы и лежандровы характеристические классы из "Особенности каустик и волновых фронтов " Лагранжевы и лежандровы характеристические классы — это классы когомологий замкнутых (компактных, без края) лагранжевых и лежандровых многообразий, двойственные многообразиям лагранжевых (лежандровых) особенностей. Соответствующие характеристические числа инвариантны относительно лагранжевых (лежандровых) кобордизмов. [c.124] Простейшим из таких классов является класс Маслова, двойственный многообразию, состоящему иэ всех особых точек проекции лагранжева многообразия на базу лагранжева расслоения. В 1.3 это многообразие обозначалось через Аг. [c.124] Соответствующий класс когомологий одномерен он сопоставляет целое число любой кривой на лагранжевом многообразии. Это число равно числу особенностей типа А2 вдоль кривой (подсчитываемых с подходящими знаками). [c.124] Общая схема построения лагранжевых и лежандровых характеристических классов, ассоциированных с особенностями, такова. Рассмотрим класс из классификации (А ,. ..) критических точек функций, то есть тип лагранжевых или лежандровых особенностей ( в обозначениях соответствует различным вещественным формам одной и той же комплексной особенности соответствующие отображения эквивалентны в комплексной области, но не эквивалентны в вещественной области, как для А3 а ). [c.125] Если такая ориентация существует, то соответствующий класс особенностей называется (естественно) коориентируемым. [c.125] Пример. В.П.Маслов в [117] заметил, что класс коориентируем, и нашёл его естественную ориентацию (определяемую направлением увеличения индекса инерции второго дифференциала производящей функции). [c.125] Здесь обозначения А. Х классов особенностей следуют классификации критических точек функций ([28]), с точностью до Л+-экв -валентности (две функции Л -эквивалентны, если одна из них может быть преобразована в другую подходящей заменой независимых переменных и прибавлением константы). Большинство классов определено в 1.3 — это и т.д. [c.126] Эти классы индуцируют лагранжевы характеристические классы когомологий с целочисленными коэффициентами на лагранжевых подмногообразиях пространства кокасательного расслоения Т У. [c.127] Например, класс Аг индуцирует индекс Маслова кривых на лагранжевых подмногообразиях. Индекс пересечения с трансверсально ориентированным многообразием особенностей типа Ае определяет пятимерный класс когомологий на лагранжевых подмногообразиях в Т У. [c.127] Эти классы когомологий индуцируют лагранжевы характеристические классы когомологий с Ег-козффициентами на лагранжевых подмногообразиях в Т У. [c.128] Для проекции лагранжева края число особенностей данного типа чётно. Числа особенностей типов А2, А , Е , Еу, (принимая во внимание знаки) равны нулю для проекции лагранжева края замкнутого ориентированного лагранжева многообразия. [c.128] Подобная теория для лежандровых особенностей начинается с более грубой, по сравнению с использовавшейся выше -эквивалентностью, классификации критических точек функций. [c.128] Лежандрова эквивалентность соответствует эквивалентности поверхностей нулевого уровня функций, а не эквивалентности самих функций. Определение естественной коориентации принимает во внимание инвариантность относительно действия этой группы (которая, в общем случае, больше, чем группа Д+-эквивалентностей). [c.128] Для малых размерностей (г 6) соответствующие результаты приведены ниже. [c.128] На лежандровом крае число особенностей данного типа (соответствующей коразмерности) чётно. Число особенностей типов Еу и Рд (с учётом знаков) на лежандровых краях ориентированных лежандровых многообразий равно нулю. [c.129] Эти соотношения не исчерпывают все ограничения на сосуществование особенностей на лежандровых и лагранжевых многообразиях. Например, число ласточкиных хвостов (Л3) на двумерном фронте чётно, так как линия самопересечения, начинающаяся в вершине одного ласточкина хвоста, заканчивается в вершине другого. [c.129] Алексеев доказал, что ребро возврата фронта лежандрова подмногообразия пространства 1-струй функций на поверхности пересекает сам фронт в чётном числе точек 1 1 21 = Отое 2. [c.129] Вернуться к основной статье