ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линеаризованное сворачивание инвариантов из "Особенности каустик и волновых фронтов " Размерность алгебры Ли векторных полей, касающихся фронта лежандрова отображения (или дискриминанта группы отражений), бесконечна. Однако, мы можем построить конечномерную алгебру Ли, заменяя каждое векторное поле его линейной частью в нуле. В большинстве вычислений, использующих касающиеся фронтов векторные поля, достаточно знание этих конечномерных алгебр. В отличие от сворачивания полных инвариантов, алгебра линеаризованных сворачиваний допускает простое явное описание в терминах умножения в локальной градуированной алгебре соответствующей особенности. [c.87] Будем обозначать касательное пространство в нуле к многообразию орбит группы отражений через Т, двойственное ему пространство — через Т. [c.87] Легко видеть, что определение корректно (значение ф зависит только от дифференциалов а, Ь в нуле, а не от самих инвариантов а, Ь). [c.87] Треугольная матрица подобного вида описывает линеаризованное сворачивание инвариантов для (первая строка — (2Ах. ( 1 - - 1)А ) и все элементы на линиях, параллельных вспомогательной диагонали, равны между собой). [c.87] Этот пример показывает, что, в отличие от полных сворачиваний, линеаризованные могут быть описаны в простых терминах. В действительности, линеаризованное сворачивание инвариантов допускает единообразное описание для всех групп евклидовых отражений, связанных с простыми краевыми особенностями, в терминах локальных градуированных алгебр особенностей. [c.88] Замечание. Приведённый выше список содержит все простые, устойчивые краевые особенности, с точностью до сохраняющей край стабильной эквивалентности (для того чтобы получить нормальные формы простых, устойчивых краевых особенностей функций большего числа переменных п, нужно добавить квадраты новых переменных в случае п = 2 опускается слагаемое х в нормальных формах С/,, F4] в случае п = 1 опускается слагаемое х Л- х ъ нормальной форме В ). [c.89] Теорема (см. [3]). Бифуркационная диаграмма любой краевой особенности A .F4 диффеоморфна дискриминанту соответствующей группы евклидовых отражений. [c.89] Биголоморфный диффеоморфизм базы версальной деформации в многообразие орбит группы отражений, отождествляющий бифуркационную диаграмму с дискриминантом, не единствен. Такие диффеоморфизмы (точнее их ростки в нуле) будут называться допустимыми отождествлениями базы с многообразием орбит. [c.89] Нормальные формы функций / в предыдущем списке являются ква-зиоднородными многочленами с положительными весами Это значит, что / — О/, где О = Y wixi д/дxi) есть квазиоднородное векторное поле. Веса ад,- = и,// обозначены в списке нормальных форм. [c.91] Эйлерово дифференцирование ) О сохраняет идеал в знаменателе формулы, определяющей Q. Следовательно, оно действует на Q как дифференцирование. Будем также обозначать это дифференцирование через О и называть его дифференцированием Эйлера. [c.91] Отождествление пространств Т т Q, подразумеваемое в этой теореме, достаточно неестественно. Существует более естественное отождествление касательного пространства многообразия орбит в нуле Т и локальной алгебры Q. [c.91] Таким образом, мы определили допустимое отождествление Т с Q. Следующая теорема описывает перенос на Q линеаризованного сворачивания инвариантов, но сначала нам потребуется вспомогательная конструкция. [c.91] Определение. Элемент I двойственного локальной алгебре пространства Q называется допустимым, если линейная функция I Q С не равна нулю на аннуляторе максимального идеала алгебры Q (рис. 51). [c.91] Дифференцированием (коммутативной) алгебры называется линейное отображение этой гчгебры в себя, удовлетворяющее правилу Лейбница 0(аЬ) = а ОЬ+ЬОа. [c.91] Замечание. Этот аннулятор одномерен. Он образован классом якобиана функций из знаменателя формулы, определяющей Q, (см. [103] или [28]). Следовательно недопустимые элементы Q образуют гиперплоскость, и типичный элемент допустим. [c.92] Эта билинейная форма невырождена, если элемент I допустим (см. [28]). Обозначим через N1 Q Q линейный оператор, определяющий эту форму. [c.92] Любая из операций ф1(с допустимым I) является образом линеаризованного сворачивания инвариантов при подходящем допустимом отождествлении. [c.92] Следствие. Все операции ф1 с допустимыми I эквивалентны. [c.92] Замечание. Предыдущие теоремы, открытые в [98] для серий А, В, С, О, были сформулированы в терминах двойственности соответствующих семейств квадратичных форм. [c.92] Вернуться к основной статье