ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Векторные поля, касающиеся фронтов из "Особенности каустик и волновых фронтов " Фронт простой особенности биголоморфно эквивалентен дискриминанту конечной группы евклидовых отражений ( 3.1). Поэтому мы будем изучать голоморфные векторные поля на многообразии орбит, касающиеся дискриминанта (то есть множества нерегулярных орбит). [c.81] Е = А В I -I- +. . -Ь А имеет кратный корень . [c.82] Для /и = 3 это — обычный ласточкин хвост в С . [c.82] Функции на В называются инвариантами (так как для а В — С функция аож С — С инвариантна относительно группы отражений, и любая инвариантная функция допускает представление аож). [c.82] Следовательно, каждый инвариант а В — С определяет векторное поле Уа на многообразии орбит производная инварианта Ь вдоль Уд есть Ф(а, Ь). [c.82] Будем называть Уд потенциальным полем с потенциалом а. [c.83] Теорема. Всякое потенциальное поле Уд касается многообразия нерегулярных орбит. [c.83] Доказательство. Евклидов градиент инвариантной функции тг а инвариантен относительно отражений. Следовательно, он касается зеркал. Таким образом, проекция этого градиента на многообразие орбит касается проекции зеркал, что и требовалось доказать. [c.83] Выберем базис инвариантов (т. е. координатную систему (Лх. Лд) на В на В не фиксируется никакой линейной структуры). По функциям Л построим /i векторных полей Ул на В, касающихся дискриминантной гиперповерхности. Эти поля будут называться базисными. [c.83] Теорема (см. [98]). Векторы /i базисных пх лей независимы в любой точке многообразия регулярных орбит. На многообразии нерегулярных орбит их определитель имеет нуль первого порядка. [c.83] В точке многообразия нерегулярных орбит базисные поля порождают касательное пространство к страту естественной стратификации дискриминантной гиперповерхности, содержащему данную точку. [c.83] Зная базисные векторные поля, мы можем построить множество других полей, касающихся дискриминанта любая линейная комбинация базисных полей с (голоморфными) функциональными коэффициентами является таковой. [c.83] Любое голоморфное векторное поле (его росток), касающееся дискриминанта, представимо в таком виде, а соответствующие голоморфные коэффициенты (их ростки) определены единственным образом [99]. [c.83] Пример. Любое плоское векторное поле, голоморфное в нуле и касающееся полукубической параболы Д = О, имеет вид -ЬазУлг (используя обозначения предыдущего примера) голоморфные коэффициенты определены единственным образом. [c.84] Замечание. Бесконечно гладкое векторное поле на вещественном трёхмерном пространстве, касающееся вещественного ласточкина хвоста (образованного вещественными полиномами г - - + Лз-г - - Лз с кратным вещественным корнем), в общем случае не является линейной комбинацией базисных полей с гладкими коэффициентами. [c.84] В самом деле, в ласточкин хвост имеет линию самопересечения (рис. 49), аналитическое продолжение которой в другую сторону от вершины ласточкина хвоста является кривой, не принадлежащей вещественному ласточкину хвосту (соответствующие кратные корни комплексны). Гладкое векторное поле, касающееся вещественного ласточкина хвоста, в общем случае не касается этой продолженной кривой, в отличие от базисных полей. [c.84] Во всяком случае, знание базисных полей чрезвычайно полезно для приведения к нормальным формам различных геометрических объектов с помощью сохраняющих дискриминант диффеоморфизмов, поскольку любая функциональная линейная комбинация базисных полей касается дискриминанта. [c.84] Формулы для остальных простых особенностей имеются в [101], [102]. [c.85] Любое векторное поле, голоморфное в нуле и касающееся фронта, единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных полей Vi с голоморфными в нуле коэффициентами. [c.86] Вернуться к основной статье