ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Особенности ударных волн и перестройки множеств Максвелла из "Особенности каустик и волновых фронтов " Модель невзаимодействующих частиц, ведущая к их скоплению на каустиках лагранжевых отображений, пренебрегает эффектами от соударений или рассеивания близлежащих частиц. Например, в одномерном случае зта модель позволяет частицам проходить друг сквозь друга. [c.53] ДЛЯ потенциального векторного поля и = 3. [c.53] Хорошо известное описание ударных волн для зтого уравнения связывает эти волны с особенностями функций максимума семейств гладких функций. [c.53] Зависимость максимального значения функции семейства от параметра является непрерывной, но может быть не гладкой для некоторых значений параметра а именно для тех значений, при которых этот максимум достигается в более чем в одной точке. [c.53] Рассмотрим, например, линию горизонта некоторого ландшафта. Эта линия теряет гладкость в точке пересечения видимых контуров двух холмов (рис. 27). [c.53] В этом случае и каустика, и аналитическое продолжение множества Максвелла диффеоморфны ласточкину хвосту. [c.54] Замечание. (Большое) множество Максвелла делит пирамиду, образованную многочленами (из предыдущего примера), имеющими только вещественные критические точки, на пять частей (пересечения которых с плоскостью а = — 1 изображены на рис. 28). [c.55] Число компонент дополнения к объединению каустики и (большого) множества Максвелла равно -(-... [80]. [c.55] Малые множества Максвелла типичных семейств функций, зависящих от 2-х параметров, являются плоскими кривыми с особенностями двух типов конечными точками (Аз) и Y-образными тройными точками (3Ai). Здесь, как и в других задачах теории особенностей, число аргументов функции не существенно (оно даже может быть бесконечным, т. е. утверждение справедливо не только для семейств функций, но и для семейств функционалов). Существенно только число параметров. [c.55] Предположим теперь, что семейство функций зависит от времени. Зависящая от времени функция (зависящая к тому же от к параметров) может рассматриваться как функция, зависящая от к + 1)-го параметра. Таким образом, множество Максвелла зависящего ещё и от времени Л-параметрического семейства функций может рассматриваться как гиперповерхность в (Л 1)-мерном параметрическом пространстве-времени . При этом мгновенные множества Максвелла — это сечения этой гиперповерхности изохронами t = onst. [c.55] Следовательно, для изучения типичных перестроек мгновенных множеств Максвелла нам необходимо исследовать типичные перестройки сечений типичных множеств Максвелла в (Л 1)-пространстве. [c.55] Эта задача была решена Богаевским для случаев к = 2 (перестройки кривых на плоскости параметров) и к = 3 ([80]). Ответ для к = 2 изображён на рис. 29 ([81], [82]). [c.55] Существует пять топологически различных ростков типичных поверхностей Максвелла в 3-пространстве. Типичные перестройки сечений этих поверхностей изохронами зависят от положения критической изохроны по отношению к множеству Максвелла. На рис. 29 изображено десять типичных перестроек (если случаи, отличающиеся только направлением времени, считать отдельно, то получим восемнадцать различных перестроек). [c.56] Если i очень мало, то параболоид г = (ж—у) /24 очень тонок. В этом случае точка контакта между параболоидом и графиком единственна. Эта точка гладко зависит от Ь, так что F является гладкой функцией для малых I. При увеличении I параболоид расширяется. В этом случае для некоторых х появится более чем одна точка контакта (рис. 30). Эти специальные значения х образуют мгновенную ударную волну (и мгновенное множество Максвелла нашего семейства). [c.57] Одни перестройки множеств Максвелла встречаются как перестройки волновых фронтов только в одном направлении изменения времени (например, треугольник может исчезнуть, но не может возникнуть) другие перестройки множеств Максвелла реализуемы ударными волнами в обоих направлениях изменения времени третьи не встречаются вовсе. Допустимые направления перестроек на рис. 29 обозначены стрелками. [c.57] Любое из этих двух условий является необходимым и достаточным для реализуемости перестройки зависящего от времени множества Максвелла на плоскости или в 3-пространстве (Богаевский). Однако, неизвестно, верно ли это в больших размерностях неизвестно также эквивалентны ли эти два условия для многомерных ударных волн, подчиняющихся уравнению Бюргерса с исчезающей вязкостью. [c.58] Замечание. Теории Чеканова ( 2.4) и Богаевского ( 2.5) говорят о том, что вложение лагранжева многообразия в послойно выпуклую гиперповерхность налагает строгие топологические ограничения. Это наводит на мысль о том, что оптическая топология довольно существенно отличается от общей симплектической топологии (см. также [86]-[89]). [c.58] Проблема. Якоби в [90] упомянул о том, что любая каустика семейства геодезических, стартующих в общей точке эллипсоида, имеет не менее четырёх точек возврата. Верно ли это для других римановых метрик на сфере (например, для типичных метрик, близких стандартной) Это свойство четырёх точек возврата, если оно имеет место, должно быть обобщением на симплектическую топологию теоремы о четырёх вершинах, согласно которой замкнутая плоская кривая имеет не менее четырёх точек точек экстремума кривизны (см. [91], [92]). [c.58] Вернуться к основной статье