ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Перестройки оптических каустик из "Особенности каустик и волновых фронтов " Проверка общей теории особенностей и перестроек каустик с помощью лазерной оптики (Дж.Най и Дж.Хэннай [77]) привела к открытию некоторых новых и интересных топологических свойств оптических лагранжевых особенностей (Ю.В.Чеканов [78]). [c.49] Определение. Лагранжево подмногообразие пространства лагранжева расслоения называется оптическим, если оно лежит в гиперповерхности, которая трансверсально пересекается с каждым слоем по квадратично выпуклой в слое гиперповерхности. [c.49] Напомним, что слой лагранжева расслоения имеет естественную аффинную структуру. Следовательно, квадратичная выпуклость (положительная определённость второй квадратичной формы) гиперповерхности в слое лагранжева расслоения вполне определена. [c.49] Пример. Уравнение эйконала = 1 определяет послойно квадратично выпуклую гиперповерхность в пространстве кокасательного расслоения риманова многообразия. Следовательно, решения уравнения Гамильтона-Якоби (У ) = 1 определяют оптические лагранжевы подмногообразия. [c.49] Оптические лагранжевы подмногообразия образуют довольно узкий подкласс в классе всех лагранжевых подмногообразий. Тем не менее, все устойчивые особенности лагранжевых отображений допускают оптическую реализацию. Более того, типичные оптические лагранжевы особенности совпадают с типичными (произвольными) лагранжевыми особенностями (см. [79], [199], [200] и результаты И.А.Богаевского, 1989). [c.49] Всё же случается, что оптические лагранжевы особенности имеют некоторые специальные глобальные свойства, не присущие произвольным лагранжевым особенностям. [c.49] Прммер. Эйлерова характеристика гладкого компактного множества критических точек лагранжевой проекции типичного оптического лагранжева подмногообразия равна нулю [78]. [c.49] Следствие 1. Компоненты каустик лагранжевых особенностей в виде блюдца (блина) в оптическом случае невозможны. [c.50] Действительно, соответствующее множество критических точек является 2-сферой, а эйлерова характеристика 2-сферы равна 2. [c.50] Следствие 2. Для оптических каустик невозможна перестройка появления блюдца. [c.50] Характеристики послойно выпуклой гиперповерхности, содержащей оптическое лагранжево подмногообразие, не касаются критического множества лагранжевой проекции. В точках гладкости критического множества определено касательное поле направлений оно совпадает с полем ядер лагранжева отображения в точках типа 3. [c.50] Полный список оптических перестроек каустик в 3-пространстве содержит семь оптических метаморфоз (приведённый выше список (произвольных) лагранжевых метаморфоз содержит одиннадцать топологически различных метаморфоз, если пренебречь ориентацией оси времени). [c.50] Оптически невозможными являются четыре перестройки типа Аз и (см. рис. 21). [c.50] Для описания топологических ограничений на типичные оптические каустики и их перестройки в 3-пространстве рассмотрим поверхность критических точек лагранжевой проекции оптического лагранжева 3-многообразия. Эта поверхность имеет простые (квадратичные) конические особенности в точках, где лагранжево отображение имеет особенности типа 4 в остальных местах (в точках типа А ) она является гладкой. [c.50] В общей теории лагранжевых особенностей мы различаем точки 4 двух типов и О , в соответствии со знаком члена х в нормальной форме. [c.50] Части касательной к этой Аз-кривой и характеристического направления объемлющей послойно выпуклой гиперповерхности в точке типа, лежащие в одной и той же области, ограниченной полой конуса, могут быть разделены или не разделены н ашей 2-плоскостью (ядром лагранжевой проекции). Соответственно, мы различаем следующие два случая (Г , капля) и ( ) , треугольник) (рис. 24). [c.51] Более того, левая часть формулы (значение которой может быть ненулевым) сохраняется при оптических перестройках критических поверхностей с границей, при условии, что граница не перестраивается, и что все критические точки — только типов или В4. [c.52] Из невозможности появления летающей тарелки при перестройке оптической каустики в 3-пространстве следует невозможность появления губ при перестройке плоской оптической каустики. Чеканов доказал также, что компонента типа губы глобально невозможна для односвязной лагранжевой поверхности. [c.52] Вернуться к основной статье