ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Лагранжевы многообразия, расслоения, отображения и особенности из "Особенности каустик и волновых фронтов " Пример 1. Плоскость р = О в снабжённом координатами Дарбу, является лагранжевым подмногообразием. Все лагранжевы подмногообразия данной размерности локально симплектоморфны (по теореме Гивенталя), и, следовательно, каждое из них локально определено уравнением р = О в некоторых координатах Дарбу. [c.23] Пример 2. Формула р = 5, где в — некоторая гладкая функция на V, определяет лагранжево сечение Т У. Например, нулевое сечение кокасательного расслоения является лагранжевым подмногообразием. Некоторая окрестность лагранжева подмногообразия симплектоморфна окрестности нулевого сечения его кокасательного расслоения (это следует из теоремы Вейнстейна, см. 1.2). [c.23] Пример 3. Слои кокасательного расслоения являются лагранжевыми подпространствами. [c.23] Пример 4. Пусть Г — подмногообразие евклидова пространства К (Г может быть гиперповерхностью, точкой, кривой.). Множество ориентированных нормалей к Г является лагранжевым подмногообразием симплектического пространства ориентированных прямых в К . [c.23] Пример 5. Множество многочленов степени 2т с единичным старшим коэффициентом и делящихся на г является лагранжевым подпространством. [c.23] Замечание. Эмпирическое правило Вейнстейна гласит в симплектической геометрии любой важный объект является лагранжевым подмногообразием (например, уравнения Гамильтона и симплектоморфиэ-мы могут быть описаны как лагранжевы многообразия). [c.23] Определение 2. Лагранжевым расслоением симплектического многообразия называется расслоение с лагранжевыми слоями. [c.23] Пример 2. Кокасательное расслоение над гладким многообразием является лагранжевым расслоением (лагранжевым расслоением фазового пространства над конфигарационным). [c.23] МЫ получим отображение симплектического многообразия ориентированных прямых в евклидовом пространстве на единичную сферу. [c.24] Это отображение является лагранжевым расслоением (в сущности оно совпадает с проекцией кокасательного расслоения сферы, единственное отличие — знак симплектической структуры). [c.24] Теорема. Все лагранжевы расслоения (фиксированной размерности) локально эквивалентны (то есть в подходящих координатах Дарбу любое из них определено формулами примера 1 в некоторой окрестности любой точки пространства расслоения). [c.24] Векторное поле Ур вертикально (касается слоёв), и потоки, построенные по разным функциям / и д на базе, коммутируют. [c.24] Доказательство. (1Е( ) — О для всех вертикальных Следовательно, Ур косоортогонален касательному пространству к слою. Но это линейное пространство лагранжево, следовательно совпадает со своим косортогональным дополнением. Таким образом Ур принадлежит этому вертикальному лагранжеву пространству. [c.24] Коммутативность очевидна, так как скобки Пуассона (Е,0) = = ы(Ур, Уо) =0 мя Е = /ж, О = дж. [c.24] Для того, чтобы вывести теорему из леммы, выберем локальные координаты /1,. ., /п на базе и локальное лагранжево сечение з В - Е, проходящее через данную точку Е. Пусть Fi = fiЖ Е К ъ д — соответствующий поток. Точка с координатами Дарбу (р,д) есть 5 . .. 5 Р в(6), где Ь — точка базы с координатами /, (6) = д -. [c.24] Замечание. Слои любого лагранжева расслоения имеют естественную аффинную структуру сдвиги определены потоками, порождёнными функциями Гамильтона, поднятыми с базы. [c.24] ЭТОГО многообразия отображение I является лагранжевым расслоением. Следовательно инвариантные торы интегрируемых систем образуют лагранжевы расслоения. [c.25] Аффинная структура на слоях является главным ингредиентом в конструкции переменных действие-угол для интегрируемых систем. [c.25] Определение 3 (лагранжевы отображения). Рассмотрим вложенное лагранжево подмногообразие Ь в пространстве лагранжева расслоения Е —Н- В. Проекция Ь в В называется лагранжевым отображением. Таким образом, лагранжево отображение — тройка Ь Е —Н- В, где левая стрелка является лагранжевой иммерсией, а правая — лагранжевым расслоением (рис. 13). [c.25] Лагранжевой эквивалентностью двух отображений называется симплектоморфизм тотального пространства, переводящий слои первого лагранжева расслоения в слои второго и первую лагранжеву иммерсию во вторую. Таким образом, лагранжева эквивалентность является коммутативной (3 Х 2) диаграммой где строки — данные лагранжевы отображения, вертикальные стрелки — диффеоморфизмы, средняя стрелка — симплектоморфизм. [c.25] Вернуться к основной статье