ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Изображение апериодического процесса на фазовой плоскости из "Теория колебаний " После возведения первого выражения в степень и второго — в степень ц яетения одного из полученных соотношений на другое получим (1.45). [c.62] Это сразу исключает существование спиральных фазовых траекторий, охватывающих начало координат, и, следовательно, существование осцилля-горно затухающих движений в системе. [c.65] Направление движения представляющей точки определяется с помощью тех же соображений, что и в предыдущих случаях, именно из условия, что при у=гл- 0 значение х должно возрастать. Так как тангенс угла касательной к интегральной кривой с осью х изменяет знак только один раз при пересечении с осью лг, то сразу видно, что представляющая точка будет двигаться по интегральным кривым в направлениях, указанных на рис. 28 стрелками, т. е. [c.65] Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66] Другой случай, когда начальная скорость и начальное отклонение разных знаков, т. е. начальный толчок направлен в сторону, противоположную начальному отклонению, приводит к двум различным типам движений ( 1 и III). Если начальный толчок мал по сравнению с начальным отклонением, то система вследствие наличия большого трения не может перейти через положение равновесия и будет асимптотически приближаться к положению равновесия (кривая II). Если же начальная скорость достаточно велика, то система в некоторый момент /j пройдет через положение равновесия (кривая III) и после этого еще будет обладать некоторой скоростью, направленной от положения равновесия, т. е. в ту же сторону, в которую отклонена система. При этом получается уже рассмотренное движение типа / система достигает некоторого наибольшего отклонения и затем асимптотически приближается к положению равновесия. Таким образом, движение типа III только в первой своей части (до точки i) отличается от движения типа /. После же точки движение III аналогично движению типа I. С другой стороны, движение типа / после точки аналогично движению типа //. И действительно, движение представляющей точки по некоторым фазовым кривым, проходящим через все три области I, II и III (например, по кривой, отмеченной буквой А на рис. 28), будет принадлежать либо к III, либо к /, либо к типу II в зависимости от того, в какой области будет лежать представляющая точка в начальный момент. [c.67] Таким образом, хотя формально случай А = (оо и является граничным, но фактически граница между колебательным и апериодическим процессами размыта и не может быть проведена резко. Заметим, кстати, что для некоторых нелинейных систем (например, систем с постоянным , кулоновским трением, или с квадратичным трением), как мы увидим, разделение на колебательные и периодические теряет смысл. [c.68] Вернуться к основной статье