ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Непосредственное исследование дифференциального уравнения (бб). — 4. Затухающий апериодический процесс из "Теория колебаний " Покажем, что это — семейство спиралей, имеющих асимптотическую точку в начале координат. [c.52] На рис. 21 изображено семейство исследуемых нами спиралей — фазовых траекторий на плоскости х, у. Изображающая точка, двигаясь по любой спирали, будет асимптотически (при оо) приближаться к началу координат, являющемуся состоянием равновесия. Радиус-вектор изображающей точки будет уменьшаться (по длине) 8а каждый оборот. [c.54] Мы видим, что уменьшение радиуса-вектора происходит по ранее найденному показательному закону с логарифмическим декрементом затухания (1 = кТ. [c.55] Нетрудно видеть, что это уравнение, подобно уравнению (1.11), определяет на фазовой плоскости некоторое поле касательных, а вместе с уравнением (1.33) — некоторое векторное поле с единственной особой точкой х = 0, у = 0. [c.56] На рис. 23 изображено такое векторное поле, построенное при помощи нескольких изоклин, и уже из этого чертежа можно предугадать характер интегральных кривых. [c.57] Полученное после исключения времени уравнение (1.34) допускает интегрирование,так как оно принадлежит к классу однородных уравнений. [c.57] Мы видим при этом способе рассмотрения сразу, почти без всяких вычислений, что фазовая скорость нигде не обращается в нуль, за исключением начала координат лг = 0, у = 0, но уменьшается по мере приближения представляющей точки к началу координат. [c.57] Во-первых, можно утверждать, что все фазовые траектории соответствуют осциллирующим, но затухающим, стремящимся к положению равновесия движениям (за исключением движения по траектории ЛГ = О, = 0). Действительно, все эти траектории — спирали так как при движении представляющей точки по спирали координата и скорость системы многократно проходят через нуль, то спирали на фазовой плоскости отображают осцилляторный процесс. Далее радиус-вектор представляющей точки, двигающейся по спирали, уменьшается после каждого оборота это значит, что мы имеем дело с затухающим процессом, максимальные значения лг и уменьшаются от оборота к обороту. Во-вторых, очевидно, что особая точка лг = 0, у = 0 соответствует состоянию равновесия. [c.58] Результаты, полученные из анализа характера движений на фазовой плоскости, можно сформулировать так наша система при любых начальных условиях совершает затухающие осциллятор ные движения вокруг положения равновесия л = 0, у = 0, за исключением того единственного случая, когда начальные условия как раз соответствуют состоянию равновесия. [c.58] В рассматриваемом случае мы имеем только одну особую точку системы интегральных кривых, являющуюся асимптотической точкой для всех интегральных кривых. Такая особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом. [c.58] Таким образом, особая точка типа фокуса, вообще говоря, может быть как устойчивой, так и неустойчивой (в отличие от особой точки типа центра, которая, как мы видели, всегда устойчива). В рассматриваемом случае фокус устойчив, потому что А О. Физический смысл этого условия устойчивости ясен трение должно быть положительно, т. е. должно препятствовать движению и потреблять энергию. Такое положительное, препятствующее движению трение, на преодоление которого затрачивается работа, не может вызвать неустойчивости, и если положение равновесия в.системе было устойчиво при отсутствии трения (в гармоническом осцилляторе), го оно останется устойчивым и при наличии положительного трения. При дальнейшем рассмотрении мы встретимся с неустойчивыми особыми точками типа фокуса. [c.59] Рассмотренный нами устойчивый фокус обладает более сильной устойчивостью, чем рассмотренный в предыдущем параграфе центр. Действительно, в случае устойчивого фокуса будет выполнено не только условие устойчивости по Ляпунову, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии достаточно длинного промежутка времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такую устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но, наоборот, затухают, мы будем называть абсолютной устойчивостью. В рассмотренном нами случае линейного осциллятора фокус абсолютно устойчив. [c.59] Нашей задачей является исследовать характер возможных движений в зависимости от начальных условий. [c.60] Из этих уравнений сразу видно, что каждое из них имеет не более одного корня таким образом, осцилляторное затухание невозможно, мы имеем дело с так называемым апериодическим процессом. [c.60] Последние выражения получаются из ( . 21) заменой тригонометрических функций на соответствующие гиперболические и о на д. [c.60] Если уравнение, определяющее ij, имеет положительный корень, то система сначала приближается к положению равновесия, в момент t = ti проходит через положение равновесия, далее в момент t = i достигает некоторого максимального отклонения в направлении, противоположном начальному отклонению, и, наконец, монотонно приближается к положению равновесия, не достигая, однако, его в конечное время ). [c.61] На рис. 25 область III соответствует начальным значениям, приводящим к такого рода движениям. [c.61] Вернуться к основной статье