ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы из "Колебания и волны Лекции " Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы. Если положение системы может быть описано одним единственным параметром j t), зависящим от времени, то такая система имеет одну степень свободы. Примерами таких систем являются хорошо известные из школьного курса математический и пружинный маятники, изображенные на рис. 1.1, если первый из них движется в одной плоскости, а второй — по прямой. [c.6] Для математического маятникаД ) может характеризовать либо угловое смещение (fit) = a(i)), либо линейное смещение вдоль траектории fit) = s t)) точечной массы т от положения равновесия, а для пружинного маятника Д ) = s t), где s t) — смещение массы от от ее равновесного положения, изображенного пунктиром. [c.6] Если пренебречь вначале силами сопротивления (в дальнейшем мы учтем их действие), то на массу от математического маятника будет действовать результирующая сила F= N+ mg (N— сила натяжения нити), направленная, вообще говоря, под углом к траектории, а на массу от пружинного маятника, лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, — горизонтальная сила F , являющаяся функцией смещения s от положения равновесия. [c.6] В рассматриваемых примерах возвращающая сила F (s) является, вообще говоря, нелинейной функцией смещения 5. Поэтому точное решение уравнений (1.2), которые являются нелинейными, получить не удается. Далее мы рассмотрим некоторые примеры таких нелинейных колебаний. [c.7] Выражение слева записано при учете условия sin(5/ ) s/ , а справа — с использованием закона Гука, справедливого при малых деформациях пружины с жесткостью к. [c.7] Заметим, что если уравнение движения приводится к виду (1.6), то его решением являются гармонические функции (1.7) с частотой Юд, равной корню квадратному из коэффициента при 5. [c.7] Значения этих гармонических функций в начальный момент времени (при i = 0) определяются начальной фазой (см. ниже) и амплитудой колебаний 5 . У одной и той же системы эти значения могут быть различными при разных способах возбуждения колебаний. [c.7] Важно отметить, что амплитуда колебаний 5 , равная величине максимального смещения тела от положения равновесия, может превосходить начальное смещение 5(0) при наличии начального толчка. [c.8] Наряду с круговой частотой Юц колебания характеризуются циклической частотой = (0 / 2л, равной числу колебаний за единицу времени, и периодом колебаний Г = 1 / Уд, равным длительности одного колебания. [c.8] Другим примером являются колебания физического маятника — тела произвольной формы массы от, закрепленного на горизонтальной оси О так, что его центр масс находится в точке О, удаленной от оси на расстояние а. При отклонении маятника от вертикали на небольшой угол а он будет совершать свободные гармонические колебания под действием силы тяжести, приложенной к центру масс (рис. 1.2). [c.8] Если считать, что при вращении, например, против часовой стрелки угол а увеличивается, то момент силы тяжести М вызывает уменьшение этого угла и, следовательно, при а О момент М 0. Это и отражает знак минус в правой части (1.12). [c.8] Поэтому физический маятник характеризуется приведенной длиной (1.15), которая равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний. [c.9] Изменение периода колебаний при удалении оси вращения от центра масс О в обе стороны на расстояние а показано на рис. 1.3. [c.9] Это обстоятельство позволяет для любой оси вращения определить сопряженную ось О . Период колебаний относительно этих осей одинаков, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. [c.9] На рис. 1.4 изображены положения осей и О , при этом ось вращения, удаленная на расстояние а , при такой форме маятника находится вне его. [c.9] Физический маятник применяется для измерения ускорения свободного падения. С этой целью измеряют зависимость периода колебаний маятника от положения оси вращения и по этой экспериментальной зависимости находят в соответствии с формулой (1.17) приведенную длину. Определенная таким образом приведенная длина в сочетании с измеренным с хорошей точностью периодом колебаний относительно обеих осей позволяет рассчитать ускорение свободного падения. Важно отметить, что при таком способе измерений не требуется определение положения центра масс, что в ряде случаев повышает точность измерений. [c.10] Вернуться к основной статье