ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эргодическая теория одномерных отображений Якобсон) из "Динамические системы - 2 " В этой главе рассматриваются одномерные отображения, занявшие в последние годы заметное место в теории динамических систем и эргодической теории. Фазовым пространством соответствующей динамической системы является отрезок [0,1] или любой другой отрезок [а, Ь]сгЯ1. Преобразования Т этогО отрезка — не что иное как функции, заданные на [а, Ь] и принимающие значения в [а, Ь]. В одном из следующих томов будут рассмотрены топологические свойства различных классов одномерных отображений, в том числе наиболее известного однопараметрического семейства квадратичных отображений. [c.204] Такие отображения называются растягивающими. Они обладают свойством неустойчивости, состоящим в том, что близкие точки под действием преобразования расходятся с экспоненциальной скоростью, что делает их аналогичными гиперболическим системам, рассмотренным в главах 7, 8. В частности, оказывается, что при широких условиях растягивающие отображения обладают абсолютно непрерывными инвариантными мерами. [c.205] Воспользуемся тем, что In Т ( ji) — ln Т (Xi) d (xi, yi) где 66[ ii Уг], и условием растяжения d Xi, у. (х, у). [c.206] Покажем, как формула для энтропии следует из (i) — (iii). [c.207] Из условий I, (а), (б) следует, чт 5 продолжается до непрерывного линейного оператора S (Х)- С(X). [c.209] Помимо рассмотренных выше примеров, из теоремы 1.1 вытекают существование и эргодические свойства абсолютно непрерывной меры для растягивающих эндоморфизмов компактных многообразий (см. [ЮО]). Условие I теоремы Уолтерса, в частности, предполагает у Т наличие локальной структуры прямого произведения. Этому требованию не удовлетворяют, например, такой популярный в теории чисел пример, как -преоб-разования x- x (mod 1) с иррациональным l. [c.209] В общем случае, когда инвариантная мера не задается явной формулой, ее построение и исследование является более трудной задачей, чем для растягивающих отображений. Первые результаты, полученные в этом направлении, относились к случаю, когда критическая точка в результате некоторой итерации попадает в периодическую отталкивающую орбиту (см. библиографию в [62], [68]. Здесь полезным оказывается переход к производному отображению (см. гл. 1, 4). [c.210] Рассмотрим отображение / 6С2([0, 1], [О, 1]) с невырожденной критической точкой с, удовлетворяющее условиям Р (0) = = / (1)=0, (0)=Л 1, /= (с) = 1. Пусть 1 — неподвижная точка Р, отличная от О, — прообраз 1. Рассмотрим производное отображение Т (см. гл. 1, п. 4.4) на отрезке (рис. 18). [c.210] К 1-му типу относятся отображения, для которых почти всякая в смысле меры Лебега траектория (в том числе траектории критических точек) сходится к устойчивому притягивающему циклу, и множество неблуждающих точек состоит из этого цикла и отталкивающего инвариантного канторова множества. Отображения 1-го типа являются структурно устойчивыми. [c.212] Противоположным является П-й тип со стохастическим поведением траекторий на множестве положительной меры. К этому типу относятся унимодальные преобразования, для которых некоторая итерация критической точки содержится в инвариантном отталкивающем канторовом множестве. Однако такие преобразования, для которых траектория критической точки не приближается к ней самой меньше, чем на некоторое фиксированное расстояние, не исчерпывают всех примеров систем со стохастическим поведением. [c.212] Отображение Тх имеет конечное число монотонных ветвей, растущее с ростом X, и центральную ветвь (рис. 19). [c.212] При значениях параметра X таких, что X,-F( )GN, центральная ветвь распадается на две монотонных и рождается новая дентральная ветвь. Обозначим через Хп соответствующие последовательные значения параметра. [c.212] Теорема 2.1 ([68]). Ve 0 существует Л(е) такое, что для Я Л(е) mes Ле[Я , A +i] Гх имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру (A +i—Хп) (1— е).. [c.212] Теорема 2.1 непосредственно обобщается на случай отображения с несколькими экстремумами. [c.213] Для однопараметрического семейства квадратичных отображений х ах —х), аб[0, 4], большой параметр отсутствует. Однако, переходя к производному отображению, как это было описано выше в пункте 2.1, мы получаем при а, близких к 4, кусочно гладкое отображение Та, аналогичное изображенному на рисунке 19. Используя то, что отображение Та является растягивающим, удается получить следующий результат (см.. [c.213] Теорема 2.2. Пусть F — отображение, С -близкое к х - л (1—х), и Яо определено условием %o-F ) Тогда мера множества М= Лб (О, Яо] х %-F x) имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру больше нуля. При этом Яо — точка плотности множества М. [c.213] Аналогичный результат справедлив для семейства гладких унимодальных отображений x - a-F x), где F(x)—отображение с отрицательным шварцианом . [c.213] Следующие два вопроса относятся к проблеме чередования структурно устойчивого и стохастического поведения в одномерных системах. [c.213] Рассматривается отображение f [О, 1]- [0, 1], для которого существует конечное разбиение [О, 1] точками 0 = bo bi . ... -.. bm bm+i = l, такое, что ограничение f на каждый отрезок. [bj, bj+i] обладает следующими свойствами. [c.213] Вернуться к основной статье