ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общая теория гладких гиперболических динамических систем (Я- Б. Лесин) из "Динамические системы - 2 " Гамильтонова система с п степенями свободы и функцией Гамильтона Н ри. .., Рп, 7ь . 7п) называется интегрируемой если она имеет п первых интегралов h=H, /2.находящихся в инволюции. Известная теорема Лиувилля зт верждает (см. [7], [23]), что если п-мерное многообразие, получающееся при фиксировании значений этих интегралов /i = i, /2 = 02. ..,/ = Сп, компактно, а сами интегралы в окрестности точки (С].С ) функционально независимы, то это многообразие оказывается л-мерным тором. На нем можно ввести циклические переменные рь. .., фп, в которых уравнения движения принимают простой ВИД j i=/ (/i,. ..,/ )— onst, а самодвижение будет условно-периодическим с п частотами. [c.115] С точки зрения эргодической теории, описанная ситуация означает, что поток 5 , отвечающий гамильтоновой системе с функцией Гамильтона H(p,q) и инвариантной мерой dqdp, не эргодичен. Его эргодическими компонентами служат (mod 0) п-мерные торы, на каждом из которых индуцируется эргодический поток с чисто точечным спектром. И в более общем случае, если динамическая система не эргодична, а на почти всех, ее эргодических компонентах реализуется динамическая система с чисто точечным спектром, то мы будем называть ее интегрируемой. [c.115] Имеется много примеров интегририруемых систем геодезические потоки на поверхностях вращения, геодезический поток на трехосном эллипсоиде, биллиард внутри эллипса, система трех точечных вихрей двумерной гидродинамики и др.-В последнее десятилетие много новых примеров интегрируемых систем было открыто с помощью метода обратной задачи теории рассеяния (см. кн. Теория солитонов. Метод обратной задачи (под ред. С. П. Новикова). М. Наука, 1980, 319 с.).. [c.115] Перечислим теперь свойства динамической системы, которые мы будем называть стохастическими. [c.116] Это свойство устанавливается, когда Т — автоморфизм Маркова, а f — функция достаточно простого вида. В общем же случае для доказательства экспоненциального убывания корреляций или вообще анализа скорости их убывания в случае гладких f требуется строить аппроксимации динамической системы автоморфизмами Маркова, что часто оказывается весьма сложным. [c.118] Преобразование Т с F( )=l— os 2лы ввел Б. В. Чириков (см. [61]), и с тех пор оно часто называется преобразованием Чирикова. Общее преобразование (6.3) мы будем называть стандартным отображением. [c.118] Вернемся к преобразованию (6.2). Рассмотрим формально (6.2) при ,=0. Решениями служат последовательности (2 = /, фп = фо+ г , I—постоянная. Геометрически это означает, что каждая окружность Г/,о= (z, ф) 2=7 инвариантна относительно Т, и на ней Т сводится к повороту на угол /. Теория KAM утверждает, что при малых Я большинство из этих окружностей сохраняется, лишь несколько меняя свою форму на цилиндре С. Более точно, имеет место следующая теорема (см. [7], [8],[85]). [c.120] Эта теорема теории KAM есть, конечно, теорема теории возмущений. Ее существенная особенность состоит в том, что строящиеся в ней инвариантные кривые не образуют никакой области. Согласно одной теореме Биркгофа (см. [53]), в любой окрестности такой кривой расположены периодические траектории. В случае общего положения , т. е. функции V из всюду плотного подмножества второй категории, среди этих периодических траекторий имеются гиперболические траектории, сеператрисы которых пересекаются трансверсально. При этом образуются упоминавшиеся выше в 1 стохастические слои, лежащие между инвариантными кривыми теории KAM. Некоторая информация об этих слоях приводится в гл. 7, 2. [c.120] В упоминавшихся выше работах Обри [50], Мезера [80] и Персиваля [87] развивается разработанный пока в двумерном случае новый подход к теории KAM. Обри вводит следующее определение. [c.120] Приведенное выше описание показывает, как могут выглядеть отдельные эргодические компоненты стандартного ото бра-жения. При малых X инвариантные кривые Г/,я, образуют мно- жество положительной меры и поэтому Т имеет инвариантные множества положительной меры, на которых оно не эргодично. С другой стороны, при больших X численный счет и качественные соображения на физическом уровне строгости (критерий перекрытия резонансов Чирикова) показывают, что у Т есть-инвариантные множества большой меры, на которых оно обладает определенными свойствами стохастичности. Однако, соответствующего математически строгого результата не существует. [c.121] Рассмотрим функцию Гамильтона Я(/, ф) =Но(1) + Я 1 (/, ф, s), являющуюся малым возмущением функции Гамильтона Яо. Предположим, что Я аналитична в области 0 = U XS, где U — комплексная окрестность U в С , а S — комплексная окрестность Тог в С . [c.122] Приведенная теорема показывает, что малое возмущение интегрируемой системы не эргодично и имеет инвариантное подмножество положительной меры, эргодические компоненты которого имеют чисто точечный спектр. Этим была, в частности, полностью опровергнута гипотеза, часто встречавшаяся в физических работах, о том, что многомерная нелинейная гамильтонова система общего вида эргодична. Заметим дополнительно, что строящиеся в теории KAM торы гладко зависят от параметра е/с. [c.122] Гиперболическое поведение траектории динамической системы формулируется в терминах поведения близких, точнее, бесконечно близких траекторий. Существуют три грубых типа поведения близких траекторий а) близкие траектории притягиваются к исходной траектории при /- +оо (полная устойчивость) б) все близкие траектории притягиваются к исходной при —оо (полная неустойчивость) в) имеются траектории, притягивающиеся к исходной при /- +оо, и другие траектории, притягивающиеся к ней же при —оо. Именно последний тип поведения кладется в основу определения гиперболичности. [c.123] Теория, излагаемая в этой главе, относится, главным образом, к тому случаю, когда все показатели отличны от нуля в случае дискретного времени, или только один из них (порождаемый направлением движения) равен нулю в случае непрерывного времени. Считается, что так будет в случае систем общего положения , но соответствующие строгие результаты пока не доказаны. [c.124] Во многих задачах естественная инвариантная мера заранее не известна. В основу теории этой главы кладутся условия на поведение решений уравнений в вариациях, так или иначе связанные с мультипликативной эргодической теоремой. Далее окажется, что часто, исходя из этих условий, можно строить инвариантные меры, а сами эти условия проверять, анализируя локальные свойства динамической системы. [c.124] Вернуться к основной статье