ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Траектория теория (А. М. Вершик) из "Динамические системы - 2 " В этой главе приведены основные факты из спектральной теории динамических систем, изучающей свойства функций Ь/. [c.36] Определение 1.1. Две динамические системы, действующие в пространствах М, Ж, и (М2, Жч, [аз), называются спектрально эквивалентными, если существует изоморфизм гильбертовых пространств Ь (Ми Ж, к ) и (Мг, 2, м-з). переводящий действие группы или полугруппы /1 ( /1 ) в действие группы или полугруппы 112 ( 2 ). [c.36] Если динамические системы метрически изоморфны, то они спектрально эквивалентны. Обратное, вообще говоря, неверно. Свойства динамической системы, которые можно выразить через спектральные свойства операторов / ( У ), называются ее спектральными свойствами. Операторы 7 ( 7 ) имеют всегда одномерное пространство собственных функций, постоянных почти всюду, которые отвечают собственному значению 1. [c.36] Теорема 1.1. 1) Динамическая система эргодична тогда и только тогда, когда пространство собственных функций с собственным значением 1 одномерно. [c.36] Таким образом, эргодичность, слабое перемешивание и перемешивание являются спектральными свойствами. [c.37] Дальше рассматриваются только автоморфизмы (циклические группы автоморфизмов) и потоки на пространстве Лебега (М, Ж, и), а также сопряженные с ними группы унитарных операторов. Напомним основные результаты из теории унитарной эквивалентности групп унитарных операторов. [c.37] Теорема 1.2 (см. [24]). Л (Г) есть подгруппа 5 , каждое собственное значение А,бЛ (Г) имеет кратность 1 и модуль каждой собственной функции постоянен почти всюду. Для потока справедливы аналогичные утверждения, но только в этом случае Лй( Г ) есть подгруппа К. [c.38] Теорема 1.3 (см. [24]). Пусть Т есть /С-автоморфизм или Г есть /С-поток, Тогда на инвариантном подпространстве функций с нулевым средним спектр сопряженной группы унитарных операторов счетно кратный лебеговский. [c.38] Справедливость этих теорем вытекает из того, что унитарные операторы, сопряженные с автоморфизмами, обладают специфическим свойством если /, g, f g L M, Ж, н), то U(fg) = = Uif)U g), т. е. сохраняют дополнительную структуру, связанную с наличием частичного умножения в — структуру так называемого унитарного кольца. [c.38] Определение 2,1. Эргодический автоморфизм Т (поток Р ) называется автоморфизмом (потоком) с чисто точечным спектром, если циклическая группа /г (однопараметрическая группа ит ) имеет полную в Ь [М, 2Д, (г) систему ортогональных собственных функций. [c.38] Для динамических систем с чисто точечным спектром, в отличие от общего случая, из унитарной эквивалентности сопряженных групп операторов вытекает их метрический изоморфизм. Это позволяет провести полную метрическую классификацию таких систем. [c.38] Теорема 2.1 (Нейман [98]). Для того, чтобы эргодические автоморфизмы Г,, Гг пространства Лебега (Мь Л ь [гО, (ЛГг, Ж2, м-г) с чисто точечным спектром были метрически изоморфны, необходимо и достаточно равенство Л г(Т 1) =Л г(Т 2), где Аа(Т)—счетная подгруппа окружности образованная собственными значениями оператора От, сопряженного с Т. [c.38] С помощью теории двойственности Понтрягина для произвольной счетной подгруппы легко построить автоморфизм с чисто точечным спектром, у которого Аа(Т)=А. Этот автоморфизм есть групповой сдвиг на компактной группе М характеров группы Л с нормированной мерой Хаара (х и задается формулой Tg=g go g, g M), где go(k) =к, к А. [c.38] Теорема 2.1 в сочетании с этим утверждением означает, что всякий эргодический автоморфизм пространства Лебега с чисто точечным спектром метрически изоморфен групповому сдвигу на группе характеров спектра. В случае непрерывного времени (для потоков) имеет место аналогичное зтверждение. [c.38] Теорема 2.2. Для того чтобы эргодические потоки Т , Гг на пространствах Лебега (Мь 1,Ц1), (М2, Жг, цг) были метрически изоморфны, необходимо и достаточно равенство Л г( 7 1 ) =Л г( 7 2 ), где Л г( Г ) — счетная подгруппа аддитивной группы образованная собственными значениями однопараметрической группы и . [c.39] Как и в случае автоморфизмов, для любой счетной подгруппы Лс Я можно построить поток Р с чисто точечным спектром, у которого Лй( 7 )=Л и который состоит из сдвигов на группе характеров группы Л. Поэтому всякий эргодический поток с чисто точечным спектром метрически изоморфен потоку, порожденному групповыми сдвигами вдоль некоторой однопараметрической подгруппы группы характеров спектра. [c.39] Теория автоморфизмов с чисто точечным спектром обобщается на более широкий класс систем. [c.40] Определение 2.2. Эргодический автоморфизм Т, для которого Ф есть полная система функций в Ь (М), называется автоморфизмом с квазидискретным спектром. [c.40] Вернуться к основной статье