ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Первоначальные понятия и основные примеры эргодической теории (И. П. Корнфельд, Я Г. Синай) из "Динамические системы - 2 " В общей эргодической теории рассматриваются измеримые действия групп или полугрупп преобразований. С точки зрения приложений это означает, что от функций, задающих такие преобразования, не требуется никаких условий гладкости — они должны быть лишь измеримыми. [c.7] М — произвольное множество, а — выделенная ст-алгебра его подмножеств. В дальнейшем М будет фазовым пространством динамической системы. Что касается Jt, то выбор ее во всех конкретных случаях не вызывает затруднений. Мы будем пользоваться ниже понятиями прям ого произведения измеримых пространств и. й -измеримой функции. [c.7] Измеримое преобразование Т называют также эндоморфизмом измеримого пространства (М,Л). Всякий эндоморфизм порождает циклическую полугруппу эндоморфизмов 7 , = = 0, 1. [c.7] Если Т обратимо и Т — также измеримое преобразование, то Т называют автоморфизмом измеримого пространства (М, Ж). Всякий автоморфизм порождает циклическую группу автоморфизмов Г , —оо гг оо. [c.7] Эти примеры естественно возникают в теории вероятностей, где роль М играет пространство всевозможных реализаций -мерного случайного поля. [c.8] Пусть теперь О — произвольная группа или полугруппа, которая сама является измеримым пространством (G, ), причем операция левого умножения есть измеримое преобразование. [c.8] Измеримые действия измеримой группы G иногда называют G-потоками. [c.8] Основной случай для нас — это G = R с борелевской а-ал-геброй Ж подмножеств R. В главе 10 появятся естественные примеры с G = R , d l. [c.8] Измеримые действия группы К обычно называют потоками а измеримые действия полугруппы — полупотоками. Циклические группы или полугруппы измеримых преобразований называют также динамическими системами с дискретным временем, а потоки и полупотоки — динамическими системами с непрерывным временем. [c.9] Пусть теперь М, Ж, ц) — пространство с мерой т. е. М Ж)—измеримое пространство, а ц — неотрицательная мера на -Ж. Всюду в дальнейшем, если не о1говорено противное, мера ц считается нормированной [ , М)—, т. е. (М,Ж,11) — вероятностное пространство. Введем меру V на Ж, определенную равенством у(С) =ц(Г 1С) для любого СеЖ. Говорят, что преобразование Г переводит меру ц в меру V, и -V называют образом меры р. под действием Т. Часто также обозначают V через Т ц. [c.9] Если ц инвариантна относительно Г, то Т называют эндоморфизмом пространства М,Ж,]1). Если же Т обратимо и Гц = ц, то Т называют автоморфизмом пространства М, ЭИ, ц). Если Г — измеримое действие группы К, и каждое Т сохраняет меру l,, то Г называется потоком на пространстве М,Ж,)1). Наиболее общий случай охватывается следующим определением. [c.9] Определение 1.5. Пусть Tg — измеримое действие измеримой группы 0,9) на (М,Ж). Мера р. на Ж называется. инвариантной для этого действия, если для любого g6G преобразование Tg сохраняет меру ц. [c.9] Для того, чтобы иметь возможность отождествлять динамические системы различного происхождения, обладающие одинаковыми эргодическими свойствами, вводится общее понятие метрического изоморфизма динамических систем. [c.9] В эргодической теории изучаются также измеримые преобразования и измеримые действия групп, для которых выделенная мера ц на фазовом пространстве (М,Ж) не обязательно является инвариантной. [c.9] В 2 будут приведены первые следствия инвариантности меры. Сейчас мы рассмотрим проблему существования такой меры. [c.10] Пусть а — гладкое векторное поле на т-мерном многообразии М, Т — отвечающая ему группа сдвигов вдоль траекторий векторного поля, и ц — абсолютно непрерывная мера, т. е. мера, которая в любой локальной системе координат задается плотностью d l = p(Xl. хт)йх1. 4хт. Известная теорема Лиувилля (J. Ь1оиу111е) утверждает, что мера ц инвариантна относительно группы Т , если плотность р удовлетворяет уравнению Лиувилля 1у(ра)=0. Эта мера называется мерой Лиувилля, или интегральным инвариантом динамической системы Г . Такая мера может быть бесконечной, но с помощью нее часто удается построить и конечные инвариантные меры. Перечислим некоторые случаи, где применима теорема Лиувилля. [c.10] Мера ц с плотностью р(9, р) = 1 будет инвариантной. [c.10] Геодезический поток на С — это группа Г преобразова- ний пространства М такая, что каждое отдельное преобразование Р состоит в сдвиге линейного элемента х= ц,у) вдоль определяемой им геодезической на расстояние t. Мера ц на М. с дифференциалом d i,=da q)d(йq, где da q) —элемент римано-ва объема, Шд — мера Лебега на единичной сфере 5 в инвариантна относительно 7 . [c.11] Пусть теперь Т — групповой эндоморфизм группы М, т. е., такое однозначное непрерывное отображение М на себя, что-T(xj+X2) =Txi + Tx2 для всех хихгбм. В этом случае из единственности меры Хаара р, на ЛГ вытекает, что ji. инвариантна относительно Т. [c.12] 3) вытекает, что мера ц инвариантна относительно сдвига Т. В этом случае Т называется автоморфизмом (эндо- мЬрфнзмом) Маркова. [c.13] Вернуться к основной статье