ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Запись формализма Г амильтона при помощи скобок Пуассона из "Основные принципы классической механики и классической теории поля " Таким образом, обобщенным координатам механики соответствуют полевые функции теории поля, а механическому параметру времени — четыре галилеевы пространственно-временные координаты (д = (x , с/). В теории относительности пространственные координаты и временная координата i неразрывно связаны, потому что лишь при этом условии будет справедлив специальный принцип относительности (А. Эйнштейн, 1905 г.), сообразно с которым законы природы, записанные в галилеевых координатах, сохраняют свою форму при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т. е. при преобразованиях Лоренца (инвариантность или ковариантность законов природы). [c.93] С другой стороны, и в теории поля при описании процессов движения время играет иную роль, чем пространственные координаты, ибо движение все-таки происходит во времени. Однако, согласно выражениям (17.2), в полевые функции наряду со временем входит радиус-вектор в виде тройки параметров, которые изменяются непрерывно. Поэтому в отличие от механики с ее конечным числом степеней свободы в теории поля говорят о системах с бесконечным (несчетным) множеством степеней свободы. [c.93] Введенную таким образом плотность лагранжиана называют плотностью лагранжиана первого порядка, так как в, нее входят только первые производные. [c.93] Плотность лагранжиана играет в теории поля такую же важную роль, как функция Лагранжа в механике. Для того чтобы основанная на этом теория согласовывалась со специальной теорией относительности, плотность лагранжиана должна быть релятивистским инвариантом. Связанный с этим круг вопросов мы будем подробно обсуждать ниже. [c.94] Для индексов всех трех видов принимается эйнштейновское соглашение о суммировании, причем суммирование проводится по всему числу измерений соответствующего пространства. Будем вести записи так, чтобы из двух одинаковых индексов, по которым ведется суммирование, один был кова-риантным (нижним), а другой контравариантным (верхним). При этом дифференциальный оператор = д дх считается ковариантной величиной, а дифференциальный оператор д = = д дxi = — контравариантной. [c.94] ВОЙ теорией. Разумеется, при этом следует строго соблюдать различие между ковариантными и контравариантрыми индексами.. .-. [c.95] При изложении теории поля мы будем близко следовать формулировкам и символике, принятым в нашей монографии (Шмутцер [1]) 1). [c.95] В силу произвольности выбора величин бС/д, из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегральной функции. Тем самым мы получаем уравнения Лагранжа теории ПОЛЯ. [c.97] ЭТИ уравнения выражают тот факт, что вариационная производная плотности лагранжиана равна нулю. Их структура в основном соответствует структуре механических уравнений Лагранжа. [c.97] Поскольку мы исходили из инвариантного действия и проводили вычисления ковариантно, уравнения Лагранжа являются ковариантными. Следовательно, они удовлетворяют специальному принципу теории относительности и поэтому записываются одинаково в любой инерциальной системе отсчета. [c.97] В этом месте мы также отказываемся от ковариантности, поскольку при определении данной важной величины выделяется время. Следовательно, полученные отсюда уравнения Гамильтона не должны появляться в четырехмерном формализме. Здесь мы достигли границы, до которой идеи механики можно переносить в релятивистскую теорию поля. [c.98] Образуем полный дифференциал Ж. [c.98] Подстановка этих выражений в систему (20.11) дает уравнения Гамильтона теории поля-. [c.99] Если мы примем, что при предельном переходе к интегралу по бесконечному объему подынтегральная функция в интеграле по поверхности стремится к нулю быстрее, чем площадь этой поверхности стремится к бесконечности, то этот интеграл обратится в нуль. [c.101] В теории поля мы не случайно выбрали для функции Лагранжа L, функции Гамильтона Я и действия S те же символы, что и в механике. Здесь, несмотря на расширение физических аспектов, мы имеем дело с тем же физическим содержанием, что соответствует непрерывности процесса развития физики. [c.102] Эти уравнения являются полевыми уравнениями Гамильтона, записанными через скобки Пуассона. [c.103] В отличие от предыдущих результатов здесь скобки Пуассона отличны от нуля, если они содержат полевую функцию и соответствующую ей функцию импульса, причем значения обеих величин берутся в один и тот же момент времени и для одинаковых значений пространственных координат. [c.104] Для уравнений (21.32) и (21.36) существуют механические аналоги — уравнения (7.8) и (7.9). [c.105] Выведенные в этом разделе соотношения, в которых фигурируют скобки Пуассона, имеют принципиальное значение при формальном переходе к квантовой теории поля, поскольку там скобки Пуассона становятся коммутаторами от соответствующих полевых операторов, подобно тому, как это устанавливается для механики соответствием (7.4). [c.105] Вернуться к основной статье