ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Релятивистская механика материальной точки в трехмерном из "Основные принципы классической механики и классической теории поля " Соотношение (13.11) показывает, что при этом процессе движения функция Гамильтона определяющим образом входит в бесконечно малую производящую функцию. [c.80] Это — основополагающее соотношение. [c.81] Таким образом, бесконечно малая производящая функция преобразования симметрии является константой движения. Поскольку параметры входят в эту производящую функцию, как правило, линейно, отсюда получается столько независимых констант движения, сколько имелось независимых параметров. Такое положение дел будет продемонстрировано ниже. [c.81] Здесь а, , d, V — бесконечно малые параметры ( скалярный, остальные векторные). [c.81] Эти три равенства представляют собой формулы преобразования соответствующих величин, полученные при помощи бесконечно малой производящей функции. [c.82] При преобразованиях Лоренца четырехмерного пространства-времени а и I описывают пространственно-временной сдвиг, а d и V — пространственно-временной поворот. [c.82] Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти симметрии в этой функции Гамильтона, так как, согласно теории, каждая симметрия дает какой-либо закон сохранения (первый интеграл). [c.83] Таким образом, наша бесконечно малая производящая функция является константой движения рассматриваемой механической системы. Выясним, что дает этот результат. [c.85] Поскольку параметры выбираются произвольно, можно фиксировать один из них, а остальные положить равными нулю. Поочередно фиксируя параметры, находим для каждого из них постоянную величину, являющуюся множителем при данном параметре в выражении (15.1). Рассмотрим получающиеся при этом выражения. [c.85] Таким образом, закон сохранения импульса получается из симметрии функции Гамильтона относительно пространственного сдвига. Поэтому в координатном пространстве все точки являются равноправными и ни одна точка не выделяется специально. Это свойство называется однородностью простран-ства. [c.85] Закон сохранения энергии является следствием симметрии функции Гамильтона относительно временного сдвига. Поэтому ни один момент времени также- не выделяется специально, что соответствует однородности времени. [c.85] Соответственно этому закон сохранения момента импульса вытекает из симметрии функции Гамильтона относительно пространственного поворота. Это свойство называется зо тропностью пространства. [c.86] Законы сохранения импульса, момента импульса и скорости центра масс выражаются векторными равенствами, каждое из которых эквивалентно трем равенствам в компонентах, так что эти три закона сохранения в совокупности дают девять констант движения. Таким образом, при наличии всех вышеуказанных симметрий в механике существует десять констант движения (включая константу энергии). [c.86] При больших скоростях движения механика Ньютона уже неверна и следует применять формулы специальной теории относительности, созданной А. Эйнштейном в 1905 г. Релятивистской механики системы материальных точек не существует, так как частицы высоких энергий вступают во взаимодействие, причем возникают процессы, выходящие за рамки механики (например,, аннигиляция пар и излучение электромагнитных волн). [c.86] Этр уравнение представляет собой обобщение уравнения движения Ньютона. [c.87] Покажем, что на релятивистскую механику переносится вся теория Лагранжа — Гамильтона — Якоби в трехмерном формализме. [c.87] Для остальных компонент проводятся те же выкладки с аналогичными результатами, совпадающими с компонентной записью формулы (16.14). Таким образом, в самом деле показано, что (16.15) представляет собой правильное выражение для обобщенного потенциала. [c.89] Поскольку Н является функцией координаты и импульса, г следует выразить через р. Однако целесообразно провести выкладки следующим образом сначала выразить р через г и уже после этого перейти от г к р. [c.90] По определению канонического импульса согласно форму -ле (6.4),. [c.90] Вернуться к основной статье