ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эквивалентность в механике перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных и обратимости времени из "Введение меры информации в аксиоматическую базу механики Изд.2 " В предыдущих параграфах перестановочность дифференцирования во вторых смешанных производных связывалась с обратимостью времени в задачах механики. Рассмотрю конкретные строгие причины этой взаплюсвязи. [c.70] Свойства этой разности принципиально различны для случаев выполнения уравнений состояния в форме (2.11) и (2.15). [c.71] Свойства скобок Пуассона аналогичны свойствам производных в лгатематике, поэтому скобки Пуассона и есть производная в фазовом пространстве. [c.72] Свойства скобок Пуассона включают в себя тождество Якоби, которое ( юрмулируется следующим образом. [c.72] В фазовом пространстве на уровне иерархии к время является параметрической переменной. Поэтому структура фазового пространства должна отражаться в результатах переходов в функции времени. [c.73] Условия вида (2.45), записанные по отношению к произвольным функциям, по определению первых интегралов есть система уравпепиГ , экв1шалентная уравнениям Гамильтона при описании движения материальных точек механики. [c.74] Скобки Пуассона - аддитивная составляющая, которая отличает полную производную по времени от частной производ]юй. Поэтому омыт тождества Якоби (2.39) состоит в том, что в классической механике полная производная по времена в фазовом прострапстве равна нулю по любому зсшкиутому пунш. Но именно это есть строгий вид утверждения об обратимости времени. [c.74] Такн [ образом, доказательство люего утверждения в первом параграфе этой главы о том, что система уравнений Гамильтона (2.3) замкнутая и совместная только в условиях обратимости времени, содержится в фундаментальных, более чем столетней давности основах механики. [c.74] Современные формулировки гамильтоновой механики [20], [44], [45] в прямой явной форме (см., иапример, [44] стр. 19) используют п качестве первичной аксиоматики тождество Якоби (2.39) и свойства скобок Пуассона (2.41). Поэтому все теоремы и утверждения современной механики об интегрируемости уравнений Гсшильтона еспи ут-верэ1сдения в пределах предпосылок модели механики, в которой время обратимо. [c.74] Аксиоматическое предположение, в силу которого в классической механике (несмотря на то, что уравнение состояния (2.15) задаст дискретную единицу объёма фазового пространства) работает людель строгой непрерывности заюгючается в утверждении о перестановочности дифференцирования во вторых смешанных производных. [c.74] При неперестаиовочиоспш дифференцироваиия во вторых смешанных производных тождество Якоби не выполняется. Время в такой механике необратимо. Обратимость времени есть предпосылка, тождественно эквивалентная отказу от учета действия второго начала термоди. намики. Выполнение тождества Якоби исключает второе начало термодинамики из числа законов классической механики. [c.75] Если в аксиоматические предпосылки классической механики введено уравнение состояния в форме (2.15), то этим вводится конечно разрывная структура фазового пространства. При существовании разрывов перестановка в смешанных производных порядка дифференцирования по независимым переменным изменяет результат. Поясню это рисунком (рис. 2.1). [c.75] Дана гюверхность Г х,у,2) с конечным разрывом вдоль оси. т и одинаковой поизводной вдоль осн у по обе стороны разрыва. Если функцию Г(х.у, ) сначала дифференцировать вдоль оси у, то результат будет описывать непрерывная функция от (х,у, ). Получившаяся производная дГ(х,у, )/ду как объект для дифференцирования вдоль оси лг будет непрерывной функцией. Разрыв об в результатах дифференцирования по х содержаться не будет. Если порядок диффренцирования изменить, то разрыв аЬ войдёт в результат равенство (2.35) невозможно. [c.75] Вернуться к основной статье