ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гамильтоновы и лагранжевы системы из "Аналитические основы небесной механики " Очевидно, что две такие системы, соответствующие функциям Гамильтона Н и Hz, эквивалентны одна другой тогда и только тогда, когда разность Н — Hz не зависит от х. Поэтому, если система (1) консервативна, т. е. если Нх(х, t) не зависит от t, то можно полагать, что и функция Н х, t) консервативна, т. е. что Hi = 0. [c.87] Следовательно, постоянная интегрирования, I должна быть взята равной нулю. Равенство H p,q)) = 0 удовлетворяется вдоль любого решения консервативной системы (4), так как эта система имеет интеграл энергии Н(р, д) = h = onst. Поскольку кЯи Н можно добавить произвольные постоянные, то выберем h = О, так что Н(р, q) = 0. Тогда из (5) видно, что импульс ро, канонически сопряженный с координатой qo = t, равен ро = —Н р, q, t). [c.88] ДЛЯ интегральных кривых q = q t) в -мерном позиционном пространстве q. При этом эквивалентные уравнения (1) и (6) будут первого и второго порядка соответственно. [c.89] Следует указать, что если G q)—скалярная функция класса в позиционном пространстве, то к в системе (6) можно добавить не только постоянную, но также и линейную форму Gg q)q = (G(q)) переменных /, так как Gg-q ]g = Q по определению [ ],. [c.89] Заметим, что постоянные интегрирования не обязательно независимы, т. е. их число т не обязательно меньше числа степеней свободы системы п. [c.91] Подстановка (160 в (9) показывает, что постоянная энергии Ь. является функцией постоянных- интегрирования д°, д. [c.92] Последние определяют в силу (13) два различных положения на одной и той же интегральной кривой в позиционном пространстве. [c.92] Формула (20г) показывает, что криволинейный интеграл ] p-dq есть функция точек q°, q на концах интегральной кривой в позиционном пространстве ). [c.93] Предположим далее, что функция т= т(с) от с принадлежит классу ). Тогда т — однозначная функция лишь постоянной интеграла энергии h, т. е. период т(с) зависит не от отдельных постоянных интегрирования j, составляющих с = (с ), а лишь от их комбинации h = h ). [c.93] Наконец, и представляют собой смещения решений х = x(t), z = z(t) соответственно (см. 8G), причем = (х, х). [c.95] Легко далее проверить, что гамильтонова и лагранжева функции Н и L связаны друг с другом в смысле определения, данного в 15. [c.95] Рассуждения при доказательстве этого утверждения те же, что и в конце 86. Из изложенного в 86 далее видно, что и при h = = 0и при h О функция i(i)+h (i) не представляет собой решение системы (1), (поэтому o( h ), 0( h ) должны рассматриваться так же, как функции t), однако оценки o( h ), 0( h ) удовлетворяются равномерно в промежутке О i Л/ (см. 86). [c.95] Так как для решений х 1), х 1 + е) системы (1) постоянная энергии не зависит в силу (3) от е, то смещение ( ) = х 1), упоминавшееся в конце 87, является изоэнергетическим. [c.96] Вернуться к основной статье