ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Линеаризация уравнений и задач механики сплошной среды из "Механика сплошной среды Т.1 " Уравнения Максвелла линейны для поля в пустоте нелинейность возникает за счет взаимодействия электромагнитного поля со средой при учете усложненного закона Ома и усложненных законов для электрической поляризации и намагничивания. [c.347] С нелинейностью исходных уравнений связано наличие ряда особых физических эффектов, которые в общем случае имеют большое практическое значение. Свохгетво нелинейности вносит большие трудности в математические методы исследования и разрешения рассматриваемых задач. [c.347] Например, в упругих телах (деталях различных машин и сооружений) деформации часто малы и компоненты тензора деформации, являющиеся в декартовой системе координат отвлеченными числами, имеют порядок долей процента поэтому большое распространение получила линейная теория бесконечно малых деформаций, в которой произведениями малых величин пренебрегают. [c.347] В теории волн в тяжелой жидкости часто рассматривают такие движения воды, при которых свободная поверхность воды мало отличается от горизонтальной плоскости — спокойного уровня воды в этом случае величины абсолютной скорости и соответствующих перемещений частиц воды малы. [c.347] В аэродинамике часто изучается движение различных тонких тел (крыльев, снарядов и т. п.) в воздухе в направлении их основного размера (рис. 42). [c.347] Когда угол наклона скорости полета к элементам поверхности тел мал, это движение вызывает в основной массе воздуха малые скорости возмущения, пропорциональные произведению еЛорости полета на малые углы наклона поверхности тела к направлению вектора скорости полета. [c.347] Примеров, подобных перечисленным выше, можно указать еще очень много. Указанные заключения о малости возмущений искомых функций для перемещений, скоростей, величин плотности, давления, температуры, характеристик электромагнитного поля и т. п., вообще говоря, не строгие, а в отдельных малых областях потока они всегда просто неверны. Однако во многих случаях эти предположения хорошо оправдываются в главной, практически важной области. [c.348] Конечно, имеются и такие важные случаи, когда допущения о малости искомых функций совершенно неприемлемы и требуется учитывать существенные нелинейные эффекты. [c.348] Таким образом, искомые функции определяются как решения линейной системы уравнений в известной области с линейными граничными условиями на известной поверхности Sq. По найденным функциям для возмущенного движения в результате решения краевой задачи в первом приближении можно определить малые деформации границы S. [c.348] Например, для упругого тела перемещения его точек определяются как функции координат путем решения линейных уравнений в области недеформированного состояния с линеаризованными граничньпли условиями на недеформированной границе по найденным перемещениям можно вычислить малые деформации, а также в первом приближении определить вид деформированной границы. Например, рассматривая, в частности, задачу о малых деформациях упругого бруса с заделанным нижним основанием под действием распределенных сил, граничные условия можно писать на недеформированной поверхности So бруса (рис. 43). [c.348] В теории волн малой амплитуды на поверхности тяжелой жидкости граничное условие на свободной поверхности 5 (условие о постоянстве давления) сносится на горизонтальную плоскость Зд, совпадающую с уровнем покоящейся жидкости (рис. 44). [c.349] В линеаризованной аэродинамике сложная область занятая возмущенным движением газа, с границами, совпадающими с поверхностью тонкого крыла, заменяется внешностью плоской пластинки, к которой по предположению близка поверхность тонкого крыла. Граничные условия обтекания на поверхности обтекаемого крыла с удержанием только малых первого порядка переносятся соответственно на разные стороны плоской пластинки. После этого рассматривается движение жидкости или газа в бесконечном пространстве, а граничная плоская пластинка представляется как поверхность разрыва давления и скорости разрыв давлений уравновешивается при этом внешними распределенными силами, действующими на жидкость или газ со стороны крыла. В приближенной постановке эти силы действуют на жидкость или газ со стороны пластинки. При рассмотрении движения бесконечной жидкости с разрывом скоростей на поверхности разрыва, соответствующей крылу, необходимо вводить внешние распределенные силы. [c.349] Замену внутренности крыла жидкостью путем введения разрывов и внешних поверхностных сил, распределенных по поверхности крыла, можно производить и в точной нелинейной постановке задачи. [c.349] Линеаризованные постановки составляют основу теории упругости в рамках теории малых деформаций. Эта теория положена в основу великого множества методов расчета в технических задачах. [c.350] В аэродинамике, наряду с линеаризованными теориями, получили широкое развитие нелинейные теории, так как во многих случаях возмущения в потоке нельзя считать малыми. [c.350] Теория волн на поверхности тяжелой жидкости и многие проблемы электродинамики и других областей физики развиты в рамках линеаризованных постановок задач. В рамках ма-тематетески трудной теории волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости, когда граничные условия нели- нейны и должны удовлетворяться на искомой свободной поверхности, рассмотрено небольшое число задач. [c.350] Эти функции зависят от частоты ю. Поверхности arg(g) = onst называются фазовыми поверхностями поверхности. [c.350] В приложениях обычно рассматривают стоячие колебания с фазой, одинаковой во всех точках пространства. [c.351] Для линейных уравнений можно строить более общие решения с помощью метода Фурье, состоящего в суперпозиции стоячих колебаний вида (3.1) с различными и, которые в одних задачах могут принимать некоторые дискретные значения, а в других образовывать непрерывное множество. [c.351] Фиксированные значения функций F распространяются вдоль оси X со скоростью а = o/ft. Величина а называется скоростью распространения прогрессивной волны, в данном случае синусоидальной волны. [c.351] Вернуться к основной статье