ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры уравнений в криволинейных системах координат и дополнительные сведения из тензорного анализа из "Механика сплошной среды Т.1 " Рассмотрт другие частные модели сплошных сред модель линейного упругого тела и модель линейной вязкой жидкости. Построение этих моделей проводится параллельно, так как способы их введения, как мы увидим, формально аналогичны. По существу же эти две модели описывают два совершенно различных типа механического поведения реальных сред. [c.165] В этом параграфе мы будем изучать зависимость /У от е р и и зависимость фУ от е р, поэтому в дальнейшем параметры Г и Xj указывать не будем. [c.165] Предположим, что функции / могут быть разложены в ряд Тейлора по е р и что в отсутствие напряжений (р = 0) деформации также отсутствуют (е р =0), и наоборот ). [c.166] Соотношения (2.4) называются законом Гука, а соотношения (2.5) — законом Навье — Стокса (или законом вязкости Ньютона). [c.166] Мы получили (2.4) и (2.5) в предположении, что (для закона Гука) ие р (для закона Навье — Стокса) малы. Отметим, однако, что, в частности, закон Навье — Стокса для воды, воздуха и некоторых других жидкостей оказывается применимым и в тех случаях, когда компоненты тензора скоростей деформаций не малы. Из общих термодинамических соотношений получается, что закон Гука физически допустим только как приближенный закон для малых деформаций. [c.166] Из инвариантных относительно выбора систем координат равенств (2.4) и (2.5) непосредственно вытекает, что и являются компонентами четырехвалентных тензоров. Они являются физическими характеристиками данной сплошной среды и зависят, вообще говоря, от температуры Т и других физикохимических параметров, характеризующих состояние рассматриваемой среды. [c.167] Тензор четвертого ранга имеет 3 = 81 компоненту, но из-за симметрии тензора напряжений (в классическом случае) и симметрии тензоров деформаций и скоростей деформаций независимых компонент будет только 36, так как тензоры А ж В должны быть симметричными по паре индексов I и / и их можно принять стметричными по паре индексов а и р. Если среда, поведение которой описывается законом Гука или Навье — Стокса, обладает какими-либо геометрическими свойствами симметрии, то число независимых компонент ЛУ и еще больше сокращается. В частности, если соответствующая среда изотропна, то все и определяются двумя параметрами. [c.167] Изотропной средой называют такую среду, Свойства анизотропии, свойства которой одинаковы по всем насады гиротропии правлениям. Если свойства среды в разных направлениях разные, то говорят, что среда анизотропна. Анизотропные среды могут обладать симметрией различных типов. [c.167] Полная ортогональная группа содержит преобразования вращения (детерминант преобразования равен + 1) и преобразования вращения, сочетающиеся с зеркальными отражениями (детерминант равен —1). [c.168] Если свойства среды инвариантны только относительно группы вращений и не инвариантны относительно зеркальных отражений, то среда называется гиротропной. [c.168] Записывая закон Гука в системе х , ж , мы должны пользоваться коэффициентами а в системе y , у , г/ — коэффщи-ентами Рассмотрим два деформированных состояния сплошной среды, которые имеют одинаковыйвид в разных (повернутых друг относительно друга) системах х и г/ т. е. [c.168] что в изотропной среде напряженные состояния в этом случае также должны в системах и у иметь одинаковый вид. Если Л= 4 чар, т. е. коэффициенты в законе Гука в обеих системах координат одинаковы, тор = р У. Сплошная среда в этом случае является изотропной или гиротропной. Если же ф т. е. коэффициентыв законе Гукав системах координат х , х и г/, г/ , г/ разные, то р ф р У и среда является анизотропной. Опыт показывает, что анизотропными средами, для которых свойства среды в разных направлениях разные, являются, например, кристаллические среды с правильным упорядоченным расположением молекул или атомов, а также волокнистые материалы. [c.168] Изотропными средами, для которых одна система координат не имеет преимуществ перед другими, повернутыми относительно,первой, являются, например, вода и другие среды, имеющие так называемое аморфное строение, а также среды, которые состоят из маленьких кристаллов, если только эти элементарные кристаллы расположены неупорядоченно, хаотически. Таковы обычно употребляемые в технике металлы. [c.168] НО если среда гиротропна или изотропна, то должно быть = и, следовательно, =0при1 ф]. Отсюда, так как в этой системе координат = О при г ф /, следует, что главные оси тензора деформаций и тензора напряжений в гиротропной, и подавно в изотропной, среде, подчиняющейся закону Гука, совпадают. [c.169] В формулах закона Гука в главных осях из всех восьмидесяти одного коэффициента существенны только девять коэффициентов Л . [c.169] Формулы (2.11 ) или (2.11) представляют собой запись закона Гука для изотропной среды в произвольной криволинейной системе координат. [c.171] Приведем числовые значения Е, а, л, V для некоторых сред. [c.172] Законы Гука и Навье — Стокса при Т = onst, = onst позволяют замкнуть систему уравнений движения для изотропных упругих сред и вязкой несжимаемой жидкости. [c.172] В римановом пространстве тензор отличен от нуля из-за кривизны пространства, так как в искривленном пространстве невозможно обратить в нуль в данной точке одновременно Г и дТ /дх (см. 5 гл. П). [c.173] В декартовой ортогональной системе координат полная система уравнений движения вообще неоднородной вязкой несжимаемой жидкости имеет вид др др, др др р. [c.174] Вернуться к основной статье