ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория деформаций из "Механика сплошной среды Т.1 " Пусть относительно системы координат наблюдателя х , х , а движется абсолютно твердое тело (рис. 10), Отметим два его положения — в начальный момент времени и в произвольный момент t. [c.64] Сложнее будет обстоять дело в случае движения деформируемого тела. Действительно, при движении деформируемого тела расстояния между его точками М жМ меняются. Координатные линии сопутствующей системы координат деформируются, и векторы базиса меняются со временем так, что меняются и их величины и углы между ними. [c.64] Эффект изменения расстояний между точками сплошной среды во время движения очень важен, В частности, укажем на то, что силы взаимодействия между частицами зависят от изменения расстояний между ними. [c.64] Мы хотим ввести в рассмотрение характеристики изменения расстояний, поэтому необходимо ввести метрические тензоры сопутствующей системы координат в моменты времени I и I. [c.65] При разных конечных к и данном йг элементы к йг определяют в момент I малый отрезок прямой, выходящий из точки М, которому в пространстве 5 , 5 в момент I соответствовал малый отрезок прямой кйг. [c.65] Подчеркнем, что координаты точек М ж М в моменты I и I В сопутствующей системе координат одинаковые, а компоненты йз и gi разные. [c.66] Тензоры деформаций являются основными характеристиками возникающих в телах деформаций, и их компоненты входят в основные уравнения, описывающие движение сплошной среды. [c.67] что в интересующий нас момент г ве-Начальное состояние и личины деформации зависят не только от начальное состояние рассматриваемого состояния тела, но и от того, по отношению к какому состоянию эти деформации вычисляются. Как выбрать это состояние, если мы хотим получить определенные физические характеристики деформации Очевидно, оно не может быть совершенно произвольным, а должно быть определено из конкретных физических соображений. Отметим, что его можно определять по-разному, и сейчас в теории деформаций мы не будем фиксировать этот способ определения, а назовем каким-то образом выбираемое для сравнения с данным состоянием сплошной среды состояние начальным и укангем только на могущее встретиться при этом следующее обстоятельство. Это начальное состояние не обязательно должно реально осуществляться. Например, за начальное состояние можно принять такое мысленно введенное состояние, в котором структура каждого элемента сплошной среды упорядочена и элемент предоставлен самому себе, т. е. на него не действуют никакие силы. Обозначим метрику в этом мысленно введенном состоянии через ц, а векторы базиса сопутствующей системы в начальном состоянии через э . Очевидно, что введенная таким образом метрика может оказаться неевклидовой. Реальное же движение сплошной среды происходит в евклидовом пространстве, и, следовательно, в общем случае может не существовать действительного (реального) перехода сплошной среды из начального состояния в данное. Идеальное примысленное начальное состояние (в кавычках) можно использовать для оценки изменения метрики и для введения тензора деформаций. [c.67] Обратимся к вопросу о геометрическом истолковании компонент с различными индексами (при i =j= j). Для этого ради простоты в начальном состоянии выберем в данной точке такую систему координат, в которой э. взаимно ортогональны, т. е. [c.69] с каждой точкой движущейся среды можно связать обычную ортогональную декартову систему координат ( оц 02, оз), направленную вдоль главных осей тензора деформаций, которая в процессе движения будет переходить также в обычную ортогональную декартову систему координат (х , Яд). Расположение индексов (вверху или внизу) в этих системах, поскольку они являются ортогональными декартовыми, несущественно. Соответствующие компоненты тензоров деформаций ё. и е. в этих системах являются главными компонентами. [c.72] коэффвщиенты относительных удлинений вдоль главных осей в случае бесконечно малых деформаций совпадают как с главными компонентами тензора деформаций t в актуальном пространстве, так и с главными компонентами тензора деформаций Щ в начальном пространстве. Поэтому разница тензоров t и I в случае бесконечно малых деформаций пропадает. [c.73] Корни 3 , 2, 3 ЭТОГО уравнения будут главными компонентами е , б2, бз соответствующего тензора деформаций. Так обстоит дело, если (5.31) составлено в главной n teMe т), Т), т] . [c.73] для определения главных компонент тензоров деформаций следует составить в данной системе координат вековое уравнение (5.32) с коэффициентами (5.33) и найти его корни. [c.74] Величина 0 определена как инвариантная геометрическая характеристика. Формула (5.37) дает выражение для 0, пригодное при использовании любой системы координат. [c.75] Аналогичным путем можно ввести 0 для элементарных параллелепипедов в любой криволинейной системе координат. Ниже покажем, что определенный формулой (5.35) коэффициент кубического расширения не зависит от формы первоначального объема йУд. Он равен относительному изменению любых малых объемов вблизи данной точки в случае конечных деформаций. [c.75] Таким образом, первый инвариант тензора деформаций в случае бесконечно малых деформаций можно рассматривать как коэффициент кубического расширения. [c.75] Очевидно, что тензоры Га. вообще различны. [c.81] Аналогично можно построить ковариантную производную от контравариантных компонент тензоров любого ранга. [c.81] Аналогично можно ввести ковариантную производную от кова-риаптпых компонент любого тензора. [c.83] Вернуться к основной статье