ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения идеального газа в ортогональных координатах. Характеристики уравнений для двумерных течений в координатах из "Обратная задача теории сопла " Введенная система координат 5, г , 0, естественно, не является единственно возможной. Преимущество ее перед декартовой, цилиндрической и сферической системами координат в том, что границы исследуемой области в координатах 5, г ), 0 обычно являются плоскостями или прямыми линиями. Система координат 5, г , 0 не является ортогональной подобные системы координат называют нормальными. При решении прямой задачи также используются координаты, в которых границы области переходят в плоскости или прямые линии, что достигается соответствующей нормировкой переменных у и 2. [c.28] Отметим, что интегрирующий множитель g неизвестен заранее, и определяется в процессе решения. [c.30] Запишем уравнения Навье — Стокса в координатах х, tj). Рассмотрим для простоты двумерные течения. В струйных течениях часто используются координаты Мизеса при построении разностных схем с целью разделения области на ячейки с равными расходами газа через них. Сделаем некоторые преобразования с системой (1.28), (1.29), с учетом формул перехода типа (1.56), (1.57) и формул (1.105), (1.106) и условия да = 0. [c.30] Не будем выписывать здесь уравнения энергии в координатах Мизеса из-за громоздкости выражений, хотя из приведенных выше формул эти преобразования очевидны. Отметим лишь некоторые факты. Очевидно, что уравнения (1.127) и (1.128) эквивалентны соответствующим уравнениям в невязком течении, поскольку они следуют из уравнения неразрывности и определения линии тока. [c.31] При интегрировании релаксационных уравнений (1.102), (1.103) предполагается, что в начальной плоскости s=So при всех -ф и 9 существует некоторая связь a,=/°(P, Т), ep = f p, Т), которая задается из феноменологических соображений, например, принимается равновесие или замороженное состояние потока при s=Sq. [c.34] При аналитических начальных данных единственность и существование решения в до-, транс- и сверхзвуковой областях течения обеспечивается теоремой Коши — Ковалевской, поскольку уравнения газовой динамики обладают аналитическими коэффициентами в эллиптической (дозвуковой), параболической (трансзвуковой) и гиперболической (сверхзвуковой) областях. С другой стороны, согласно теореме Веерштрасса любая непрерывная функция может быть со сколь угодно большой точностью аппроксимирована аналитическим полиномом, и в связи с этим в качестве данных Коши могут выбираться также и неаналитические данные. [c.34] В случае одномерного неравновесного течения постановка задачи аналогична. На оси сопла задается либо скорость W, либо давление, либо плотность как функции от s. Выбор функции, которую необходимо задавать, производится из условия наименьшей чувствительности этой функции к степени неравновесности процесса. Такой функцией в большинстве случаев является плотность, и в меньшей степени скорость потока. В начальном сечении задаются все параметры течения W, р, р, Т, ai и вр. Решение задачи Коши проводится для системы (1.98), (1.99), (1.102)... (1.104) при этом форма струйки тока, т. е. функция F—F s) определяется при заданном Q из уравнения (1.108). [c.35] Рассмотрим теперь постановку граничных условий в обратных задачах профилирования сопел и каналов в сверхзвуковой области. Воспользуемся для этого теорией характеристик для сверхзвуковых течений. Для случая течений идеального газа с неравновесными физико-химическими превращениями эта теория изложена в [1, 11, 27], где приведены также различные численные схемы метода. Здесь лишь отметим, что при сверхзвуковом течении существуют три семейства характеристик, два семейства линий Маха (характеристики С+ и С ) и линии тока (характеристики Со). Каждая из характеристик задается уравнением направления [например, (1.122)], при этом газодинамические параметры на ней связаны уравнениями совместности [см. например, уравнения (1.123) для и С ]. Отметим, что уравнение направления для линии тока есть уравнение (1.100, 1.101), а уравнения совместности — уравнения (1 98, 1 99). [c.35] Для решения обратных задач профилирования важны известные задачи теории характеристик задача Коши, Гурса и смешанная задача. Рассмотрим методы их решения, предполагая, что искомыми функциями являются угол наклона скорости 9 и давление р, которые связаны дифференциальными соотношениями совместности. [c.36] Пусть теперь вир заданы на дуге АВ некоторой кривой, которая ни в одной точке не имеет характеристического направления, и нужно определить решение в окрестности АВ (задача Коши). Выберем на АВ ряд точек Л, а, Ь.с, СВ (рис. 1.2, а) и проведем через каждую из них характеристики обоих семейств. В точках их пересечения й, е,каким-либо численным методом (см. 3.4) можно вычислить искомые функции. Зная решение в этих точках, можно продвинуться еще на один слой и т. д., пока пе вычислим решение в точке С. Таким образом находится решение, одновременно строится характеристическая сетка. Аналогично определяется решение и в характеристическом треугольнике АВО. Такая процедура возможна лишь при условии существования в области АСВО непрерывного решения. Известно, что существование непрерывного решения квазилинейной системы можно гарантировать лишь в малой окрестности линии начальных данных. Даже при сколь угодно гладких начальных данных в области влияния дуги АВ (область АСВО) могут возникать разрывы. Расчет методом характеристик в этом случае существенно усложняется (см. разд. 3.4). [c.36] Рассмотрим задачу Гурса на дугах АВ и АС характеристик различных семейств заданы 9 и р. При этом, естественно, предполагается, что 9 и р удовлетворяют условиям совместности. Выберем на дугах АВ и АС последовательности точек А, й2.В и А, Ь, 62. С (см. рис. 1.2,6). Используя точки а и 61 в качестве опорных, определим искомые функции в точке Сь Далее решение можно вычислить в точке Сг и во всех остальных точках характеристики а Е. Затем процесс повторяется для следующей характеристики й2р и т. д., пока не будут вычислены искомые величины на крайней характеристике ВО характеристического четырехугольника АВОС. [c.36] В заключение рассмотрим одну из возможных смешанных задач. Пусть граничные условия заданы на дугах АВ м АС двух нехарактеристических кривых, причем на АВ заданы 9 и р, а на ЛС —линейная комбинация а9-Ь Зр, и дуга АС расположена внутри угла, образованного характеристиками разных семейств, проходящих через точку А (рис. 1.2,8). По данным на Л б можно вычислить 9, р в треугольнике АВО, в том числе и в точках характеристики АО (точки а, Ь и т. д.). Для определения 9, р в точке С используется характеристическое условие вдоль дуги АС и заданная в точке С комбинация а9-Ь Зр. После вычисления искомых величин в треугольнике АЕС решается задача Гурса с данными на ЕО и ЕС. [c.37] При неравновесной полной энтальпии потока Но, энтропии 5 и наличии закрутки, в Р могут быть включены распределения этих параметров как функции ф. Краевые условия на L и Г] дополняются справа кусочно-гладкой непрерывной поперечно-ориентированной границей Гг, которая не лежит в области влияния 1, с параметрами р2- В качестве Гг обычно выбирается сечение выхода. На Гг и р2 накладывается следующее ограничение. Гг должна лежать в угловой области, ограниченной слева С характеристикой 1°, а справа — С+ характеристикой ВЫ (см. рис. 1.3). В этом случае в р2 входит распределение только одного газодинамического параметра р или р. [c.37] В ряде случаев Гг может совпадать с С+ характеристикой ВЫ, тогда р2 содержит распределения как 9, так и р. [c.38] На параметры РI, Р и не накладывается требование их непрерывности, однако если на границе Г1 (или L) задана ударная волна, то необходимо, чтобы она располагалась вне области влияния Гг и L (или Гг), т. е. она должна приходить на искомый контур. В потоке требуется построить стенку канала, обеспечивающего распределения Ри Р и Р2 на соответствующих границах. Поставленная задача профилирования является трехграничной смешанной краевой задачей сверхзвуковой газовой динамики. [c.38] Следует отметить, что в ряде случаев требуется обеспечить прохождение контура профилируемого канала через концевые точки Си/) границ Г1 и Гг одновременно Для этого необходимо, чтобы расходы газа через Г1 и Гг были равны. Равенство расходов обеспечивается соответствующим изменением линейных размеров Г1 после решения смешанной краевой задачи в области II и определения расхода через Гг, что обусловливает соответствующие изменения входной до- и трансзвуковой частей канала. [c.38] ВХОДНОЙ части осуществляется из априори заданного адаптируемого л-параметрического семейства дозвуковых частей аналогичного рассмотренному в [17] В данном случае в качестве параметров семейства можно взять размер и расположение относительно оси симметрии критического сечения, распределение параметров вдоль него, радиус закругления (или величину излома) закритиче-ской части стенки канала. [c.39] Таким образом, в этом разделе рассмотрена постановка граничных условий для двух классов задач обратной задачи с заданными условиями на входе в дозвуковой части и на некоторой поверхности 11) = сопз1 и обратной задачи профилирования сверхзвукового канала с условиями во входном и выходном сечениях и условиями на поверхности тока. Отметим, что в первой задаче течение рассчитывается одновременно в до-, транс- и сверхзвуковой областях и любая из линий тока может быть выбрана в качестве стенок канала. Во второй задаче рассчитывается только сверхзвуковая область потока и определяется единственная линия тока, обеспечивающая заданные условия во входном и выходном сечениях. [c.40] Вернуться к основной статье