ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Спектральная форма уравнений для пространственного характеристического функционала из "Статистическая гидромеханика Ч.2 Механика турбулентности " О Заметим, что практически вполне можно ограничиться рассмотрением даже еще более узкого множества функций 6 (х), тождественно равных нулю вне какого-то конечного объема (см., например, Гельфанд и Виленкин (1961)). Если объем V, занимаемый жидкостью, не безграничен, то вместо интеграла Фурье (28.20) можно использовать разложение функции 6(дс) по какой-либо полной системе ортогональных на V функций Д (дс), соответствующих некоторому дискретному множеству значений к. Коэффициенты такого разложения и образуют в этом случае новое независимое переменное. [c.621] Приравнивая эти выражения друг другу при условии, что Ьг (к) есть преобразование Фурье функции б0 (дс), т. е. [c.622] Это и есть спектральная форма уравнения Хопфа. Во втором слагаемом в правой части (28.38) можно заменить 2 (й) на 2ц (й), так как ( ц—= = 0 вследствие уравнения (28.27). [c.625] В таком виде уравнение (28.38) будет являться спектральной формой уравнения (28.19). [c.625] ТО ему соответствует вектор состояния , описывающий л-частичное состояние поля (т. е. состояние, в котором имеется и квантов). Поскольку умножение на г повышает на единицу степень такого функцирнала, а действие оператора наоборот, понижает его степень на единицу, оператор умножения на г] к) и оператор вариационного дифференцирования ) к) можно считать аналогами соответственно операторов рождения и уничтожения квантов с импульсом к, рассматриваемых в квантовой теории поля. При этом перестановочное соотношение (28.40) точно совпадает с перестановочным соотношением между операторами рождения и уничтожения, соответствующими случаю так называемого бозе-поля (т. е. квантованного поля, кванты которого подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна). [c.627] оператор билинейный относительно операторов рождения и уничтожения, аналогичен гамильтониану свободного поля квантовой теории поля, а оператор й 1, кубичный относительно операторов рождения и уничтожения, аналогичен гамильтониану взаимодействия в представлении Шредингера . Взаимодействия, о которых тут идет речь.— это инерционные взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости и х, 1), описываемые в уравнениях Навье—Стокса слагаемыми, нелинейными относительно поля и. Отношение типичных значений этих слагаемых и линейных слагаемых, описывающих действие вязкости, которое равно числу Рейнольдса Ке, является константой инерционного взаимодействия (см. выше п. 19.2). Если перейти в уравнении (28.41) к безразмерным величинам так, чтобы гамильтониан свободного поля имел порядок единицы, то конст анта взаимодействия Ее будет множителем при гамильтониане взаимодействия Поскольку в случае развитой турбулентности Ке велико, взаимодействие, описываемое гамильтонианом является сильным. [c.627] Таким образом, наиболее тесная аналогия существует между уравне нием Хоп а и уравнением Шредингера для квантованного бозе-поля с сильным взаимодеиствием. Разумеется, эта аналогия все же не является полной в частности, гамильтониан взаимодействия (28.43) имеет весьма специальный вид, отнюдь не типичный для квантовой теории поля (он описывает лишь процесс слияния двух квантов в один). Тем не менее, указанная аналогия полезна, так как она позволяет использовать для решения уравнения Хопфа методы, развитые в квантовой теории поля (см. Татарский (19626)). [c.627] Уравнение (28.50) является аналогом уравнения Шредингера в представлении взаимодействия (а функционал Ф и оператор с54 ( ) аналогичны вектору состояния и гамильтониану взаимодействия в представлении взаимодействия). [c.628] Вернуться к основной статье