ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Неавтономная система с двумя степенями свободы. Случай резонанса третьего порядка из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " Так как мультипликаторы предполагаются различными, то целые, полуцелые и удовлетворяющие равенствам Хт + Я . = т г значения Х не рассматриваются. Это означает, что в системе нет резонансов до второго порядка включительно и задача об устойчивости нелинейной системы решается для значений параметров, лежащих внутри области устойчивости линеаризованной системы. [c.98] Для каждого из резонансов (1) — (4) имеет место следующее утверждение. [c.101] Параметр а подберем так, чтобы производная функции F в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.11) была определенноположительной в области F 0. [c.101] Доказательства неустойчивости в случаях (2) и (4) аналогичны доказательствам в случаях (1) и (3) соответственно. [c.102] 7) видно, что при A В величину е можно выбрать настолько малой, что функция dV dt будет определенно-положительной в области F О в достаточной близости к началу координат. Тем самым утверждение теоремы о неустойчивости доказано. [c.104] При Л5 1 Я5 I эта функция, как легко видеть, будет определенно-положительной, откуда, согласно теореме Ляпунова, следует утверждение доказываемой теоремы. [c.104] Поэтому, если Я — Я будет знакоопределенной функцией, то положение равновесия формально устойчиво. Теорема полностью доказана. [c.104] Рассмотрение резонансов (6) и (9) аналогично рассмотрению ре-зонансов (5) и (8) соответственно. [c.105] Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106] В настоящей главе описан разработанный в [61] алгоритм нормализации 2п-периодических по i гамильтоновых систем, основанный на применении метода точечных отображений [75]. Кроме того, здесь же рассмотрена задача об устойчивости неподвижных точек отображений в случае резонанса. [c.106] Преобразование, состоящее в ттг-крат-ном последовательном применении преобразования Т, обозначают 7 . [c.107] Точка М называется неподвижной точкой преобразования Т, если преобразование Т переводит ее в себя, т. е. [c.107] Имеет место соответствие не только между периодическими движениями и неподвижными точками преобразования Т, но и соответствие между их устойчивостями. Именно, чтобы периодическое движение было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы была устойчивой соответствующая неподвижная точка преобразования Т. [c.108] Тогда неподвижная точка М неустойчива. [c.108] Пусть точка Р будет пределом этой последовательности lim Г%о = Р (Р Fe,). [c.109] Обратимся снова к системе дифференциальных уравнений (1.1). Предположим, что правые части аналитичны по пространственным переменным в окрестности периодического решения X (г) системы (1.1). Тогда решения систему (1.1) тоже будут аналитическими относительно начальных данных, достаточно близких к X (0) = (х (0), х (0),.. ., X (0)). Из непрерывной зависимости решений от начальных данных следует, что решения системы (1.1) с начальными условиями, близкими к х (0), определены при О i Г, 2п. Поэтому оператор Т точечного отображения определен при начальных условиях, достаточно близких к х (0). Будем считать для простоты, что неподвижная точка М = х (0) оператора Т совпадает с началом координат, и найдем разложение оператора Т в ряд по степеням начальных данных. [c.109] Мы интересуемся точечными отображениями, задаваемыми гамильтоновой системой дифференциальных уравнений. Пусть эта система имеет периодическое решение, совпадающее с началом координат, а функция Гамильтона аналитична по координатам и импульсам и 2л-периодична по t. Использование гамильтонова характера системы (1.1) существенно упрощает нахождение разложения оператора Т в ряд. [c.110] однако, будем искать преобразование qt (0), Pi (0) - - 4i (0. Pi (О иначе. Будем находить не прямое преобразование, а обратное, т. е. будем считать, что движение гамильтоновой системы переводит систему с функцией Гамильтона Н qi, p , t) в систему с функцией Гамильтона, тождественно равной нулю. Тогда новые координаты и импульсы будут qi (0), pi (0). Далее, будем искать не само преобразование Т, а производящую функцию того преобразования. [c.110] 1) следует, что при таком выборе 8 начальные условия для 8т (фь I) (т 3) должны быть нулевыми. Покажем, как получить формы 8т в явном виде. [c.111] Вернуться к основной статье