ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость многомерных гамильтоновых систем для большинства начальных условий. Результаты Арнольда из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " В этой главе будут рассмотрены некоторые задачи устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Под многомерной системой понимается динамическая система, число степеней которой больше двух или оно равно двум, но функция Гамильтона явно содержит время. Задача об устойчивости движения в таких системах полностью не решена до сих пор. Но прогресс в этой области весьма значителен, благодаря исследованиям Арнольда, Мозера, Брюно, Нехорошева и других авторов. Кратко рассмотрим полученные к настояш ему времени результаты. [c.87] Из устойчивости для больпшнства начальных условий вовсе не следует устойчивость по Ляпунову. В статье Арнольда [5] построен пример гамильтоновой системы, устойчивой для большинства начальных условий, но неустойчивой по Ляпунову. Подобное- явление неустойчивости по Ляпунову впоследствии [27] получило название диффузии Арнольда. В построенном в статье [5] примере функция Гамильтона такова, что диффузия Арнольда очень слабая время, в течение которого г (i) находится вблизи г (0), экспоненциально растет при линейном убывании возмущений. [c.88] 8) видно, что за время порядка (0) траектория покидаег окрестность точки, сколь угодно близко расположенной к началу координат в начальный момент времени. [c.89] Величины %1 в (1.9) связаны резонансным соотношением пятого порядка + 4А.2 = N. [c.89] Отметим, что в обоих рассмотренных примерах часть гамильтониана представляет собой резонансное возмущение системы с гамильтонианом а функция подобрана так, чтобы возмущенная система допускала частные решения (1.8) и (1.13). Следует отметить также, что частоты невозмущенпой системы hl = дН(- Удг1, вычисленные для частных решений (1.8) и (1.13), связаны резонансными соотношениями (теми же, что и частоты линейной системы), то есть во все время движения траектории, приводящие к неустойчивости, находятся в резонансной зоне фазового пространства. [c.90] Примеры гамильтоновых систем с быстрой диффузией Арнольда построены также в работах [78, 93]. Но, каК показал Не-хорошев [78, 79], в общем случае диффузия Арнольда (если она существует) является экспоненциальной. Так что рассмотренные примеры представляют собой исключения из правила. Результаты Нехорошева будут рассмотрены в 3. [c.90] Вернуться к основной статье