ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование устойчивости в случае целого числа из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " Здесь Н — аналитическая относительно х, у фзшкция, имеющая иох, у порядок, не меньший, чем 2и- - 1. Кроме того, Н 2л-пе-риодична по Ь. [c.59] Общим эллиптическим случаем называют случай, когда среди постоянных Са,.. . , с есть отличная от нуля. Согласно Арьольду и Мозеру [2, 3, 72], в общем эллиптическом случае положение равновесия х — у = О системы (3.1) устойчиво по Ляпунову. [c.59] Задача нормализации линейной гамильтоновой системы с п степенями свободы рассмотрены в главе 2. Нормализация системы с одной степенью свободы особенно проста и будет здесь проведена способом, отличным от изложенного во второй главе. [c.59] Выберем начальные значения функций z так, чтобы начальные значения функций ф , и ф2, г()2 были комплексно сопряженными, а постоянная в правой части (4.7) равнялась единице (для унивалентности канонического преобразования (4.6)). [c.60] Так как функция V — знакопеременная, а ее производная (5.12) — определенно-положительная в окрестности начала координат, то, согласно теореме Ляпунова о неустойчивости, положение равновесия неустойчиво. [c.64] Теорема. Если j Са i a, то положение равновесия неустойчиво, если же g Ь , то имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.65] При выполнении неравенства с аЪ функция (6.5) будет определенно-положительной в достаточно малой окрестности начала координат. Следовательно, положение равновесия неустойчиво. [c.65] Отображение (6.15) удовлетворяет всем условиям теоремы Мозера об инвариантных кривых. Поэтому в кольце 1 р С 2 существуют кривые, инвариантные при отображении (6.15). Следовательно, траектория системы (6.14), начинающаяся между инвариантными кривыми, при всех t остается в кольце 1 Я 2. [c.66] Сделаем в заключение параграфа два замечания. Во-первых, отметим, что при выполнении неравенства j ] 2 существует степенной ряд (возможно, расходящийся), который формально является знакоопределенным интегралом системы (3.1) [158]. Согласно только что доказанной теореме, из существования формального интеграла в нашей задаче следует устойчивость по Ляпунову. [c.67] Вернуться к основной статье