ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нахождение областей параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " Прежде чем переходить к задаче о параметрическом резонансе, рассмотрим зависимость мультипликаторов (и характеристических показателей) от параметра е. Так как функция Гамильтона (6.1) предполагается аналитической относительно 8, то правые части системы (1.1) также аналитичны. Тогда, как известно, любое решение X ( г) системы (1.1), для которого начальное значение не зависит от 8, будет аналитическим относительно е. В частности, аналитическими будут элементы x j ( 8) фундаментальной матрицы решений X (Р, г). Отсюда получаем следующую теорему А. М. Ляпунова если правые части системы (1.1) аналитичны относительно 8, то коэффициенты характеристического уравнения (4.3) будут аналитическими функциями г, причем область их аналитичности совпадает с областью аналитичности правых частей системы (1.1). [c.43] Теперь рассмотрим систему (1.1) при 8=0. Это будет система с постоянными коэффициентами. Пусть Я, — корень ее характеристического уравнения. Получим условия аналитичности мультипликаторов системы (1.1) при гфО. [c.44] Таким образом, если корни Xj = 1,2,.. . , 2п) характеристического уравнения системы (1.1) при 8 = О не связаны соотношениями (6.3), то ее мультипликаторы при Ф О аналитичны относительно е. [c.44] Отметим, что при некоторых дополнительных условиях С. Н. Шимановым показана [52] аналитичность мультипликаторов и при вьшолнении равенств (6.3). [c.44] Допустим, что характеристическое уравнение системы (1.1) при 8 = О имеет корень Ху с отличной от нуля вещественной частью. Тогда, согласно 1, оно имеет корень — Xj и, следовательно, у характеристического уравнения обязательно есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью. А значит, при малых значениях 8, отличных от нуля, характеристическое уравнение (4.3) имеет корни с модулями, большими единицы. В этом случае задача о параметрическом резонансе, как видим, проста и неинтересна. [c.44] что в этом случае, в силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых е. [c.44] Кроме того, при достаточно малых е мультипликаторы не могут иметь модули, больпше единицы. Этот вывод является простым следствием из теоремы Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении (4.3). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых значениях е они не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. [c.45] Таким образом, если при 8 = 0 отсутствуют кратные мультипликаторы или, что то же, выполняются з словия (6.4), то гамильтонова система (1.1) при 8 О устойчива, если величина е достаточно мала. [c.45] Если же при 8=0 суш,ествуют кратные мультипликаторы, расположенные в некоторой точке А единичной окружности (рис. 4), то при е О они могут, вообще говоря, сойти с окружности. При этом они могут расположиться, как изображено на рис. 4, и симметрия мультипликаторов относительно единичной окружности не будет нарушена. Но смещение мультипликаторов с единичной окружности происходит не всегда [331, и, следовательно, в случае кратных мультипликаторов система (1.1) не обязательно неустойчива при 8 0. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.45] Имеет место теорема Крейна — Гельфанда — Лидского [97], которая в наших обозначениях формулируется так. [c.46] Иными словами, знак минус в соотношении (6.4) можно опустить, а при вьшолнении хотя бы одного из равенств (6.6) всегда можно так подобрать Я , Яа,.. . в (6.5), что соответствующая линейная система будет неустойчива. Число N в (6,6) отлично от нуля, так как среди величин нет кратных. [c.46] Вернуться к основной статье