ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормализация гамильтоновой системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Н (i). Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствуюш ая замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами, определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, 2я-периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать, что характеристические показатели Kj системы (1.1) — чисто мнимые, = ia , а все мультипликаторы Pf = exp (i2n Tf ), = Pj (А = 1, 2,. . ., n) различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину. [c.39] После применения преобразования (5.3) система уравнений (5.4) приобретает нормальную форму с функцией Гамильтона (2.1). Постоянную матрицу А в формуле (5.2) подберем так, чтобы преобразование (5.1) было вещественным, унивалентным, каноническим 2л-периодическим по t. [c.40] Матрица е является диагональной формой матрицы X (2я). У матрицы А, 1фиводящей Х(2я) к диагональной форме, /-й столбец есть собственный вектор еу, соответствующий мультипликатору Р (/ = 1, 2,. . ., 2га). Ее можно представить в виде А = ЬО, где Ь — какое-либо решение уравнения (5.6), а П — диагональная матрица порядка 2га, элементы которой подберем так, чтобы удовлетворить условию (5.5). [c.41] Теперь обозначим матрицу через Р. Ее элементы f l вычисляются по формуле (2.9). Аналогично 2 получаем, что матрица Р — кососимметрическая. [c.41] Для дальнейшего анализа ее структуры докажем следующее утверждение если произведение собственных чисел и р сим-плектичеекой матрицы X не равно единице, то соответствующие собственные векторы и удовлетворяют равенству (е , Ге ) = 0. [c.41] Система уравнений (5.10) не изменяется при одновременном изменении знака Оц и знака компонент вектора Знак же скалярного произведения т , Is ) изменяется на противоположный. [c.42] Вернуться к основной статье