ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами из "Точки либрации в небесной механике и космодинамике " Таким образом, Y (t) 2я-периодична, а из (3.5), кроме того, видно, что она непрерывно дифференцируема. Из (3.5) следует еще, что фундаментальная матрица X (t) представима в виде (3.2). Это и доказывает теорему Флоке. [c.36] Следует отметить, что матрицы Y (t) и В, вообще говоря, комплексные [321. [c.36] Из последнего равенства видно, что значения характеристических показателей определяются по значениям мультипликаторов неоднозначно. [c.36] Приведем еще без доказательства следующие два утверждения [51] о характеристическом уравнении (3.7) 1) характеристическое уравнение не зависит от выбора фундаментальной матрицы решений, 2) характеристическое уравнение не изменится, если систему (3.1) подвергнуть невырожденному линейному преобразованию с 2я-периодическими коэффициентами. [c.37] Таким образом, характеристические показатели Я суть корни характеристического уравнения преобразованной системы (3.12). [c.37] что задачи об устойчивости систем (3.1) и (3.12) эквивалентны. Поэтому из проведенных рассмотрений следует, что система (3.1) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы принадлежат замкнутому единичному кругу р 1, причем в случае существования кратных мультипликаторов, лежащих н окружности I р I = 1, матрица X (2я) приводится к диагональной форме. [c.37] Имеют место следующие легко проверяемые [21] свойства корней возвратного уравнения если у уравнения есть корень 2 = 1, то кратность его четная если есть корень 2 = —1, то его кратность четная при четном п и нечетная при нечетном п если уравнение имеет корень 2 1, то оно имеет также и взаимно обратный корень 2 = 1/2 той жб кратности. [c.38] Х 1Х = I. (4.4) В самом деле, при i = О равенство (4.4), очевидно, справедливо. [c.38] Поэтому равенство (4.4) справедливо при всех t. [c.39] Во-вторых, отметим, что из теОремы Лиувилля о сохранении фазового объема [16] следует, что det X (2я) = 1. [c.39] Значит, характеристическое уравнение (4.3) — возвратное, и теорема Ляпунова — Пуанкаре доказана. [c.39] Вернуться к основной статье