ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Форма постоянного члена в А(А) из "Устойчивость вращающихся масс жидкости " Перед тем как приступить к решению нашей задачи, необходимо установить некоторые свойства уравнения Пуанкаре. Они формулируются ниже в теоремах 1-1У. [c.190] Теорема I. Уравнение Пуанкаре не обладает другими исчезающими на поверхности эллипсоида решениями, кроме тождественного ф = 0. [c.191] Теорема II. Всегда существует многочлен Р х, у, г) степени п, который удовлетворяет уравнению Пуанкаре и принимает на эллипсоиде те же самые значения, что и произвольно взятый многочлен (Э(ж, у, г) той же степени. [c.192] Выражение в левой части этого уравнения имеет п(гг — 1) коэффициентов, поскольку оно тоже имеет степень п — 2. Все коэффициенты полинома К входят в уравнение только линейно, отсюда условия для его исчезновения дают достаточное число линейных уравнений для определения п(п — 1) коэффициентов К. [c.193] Д = (многочлен степени п — 2, не равный тождественно нулю). [c.193] Теорема III. Если Р — многочлен Пуанкаре степени п, то функция Dx P) сводится на эллипсоиде только к сумме поверхностных функций Ламэ MkNk порядка п. [c.194] Р = МН, где порядок равен п. [c.195] Поэтому П Р) на эллипсоиде ортогональна всем функциям Ламэ порядка, меньшего, чем п. Но в пространстве П Р) является многочленом степени п, поэтому, исходя из этого результата, он должен сводится на эллипсоиде к сумме функций Ламэ, также имеющих порядок п. [c.195] Аналогично, D P) на эллипсоиде сводится к сумме функций Ламэ степени п, а коэффициенты также рациональны по А. [c.196] Теорема IV. Еслм ф — любая функция, удовлетворяющая уравнению Пуанкаре, то постоянные разложения D ip) порядка п, рассматриваемые как функции точки на поверхности эллипсоида, являются линейными комбинациями с фиксированными коэффициент,ами постоянных разложения порядка п только функции ф. [c.196] Но по теореме III D- (P) па эллипсоиде сводится к сумме функций Ламэ только порядка п. Таким образом, этот интеграл равен линейной сумме постоянных разложения -ф только порядка п. Это и доказывает теорему. [c.197] Отсюда следует, что если рассмотреть на поверхности разложение ф в сумму произведений Ламэ Fi (например, равных MN) я взять члены порядка п, т. е. [c.197] И ЭТИ условия, очевидно, дают 2п + 1 однородных линейных соотношений между Ak, в которых коэффициенты hi k рационально зависят от А. [c.197] Постоянные разложения сг (а в действительности, постоянные 0 ф)) задаются поэтому системой из бесконечного числа таких линейных и однородных уравнений. Но эта система распадается на бесконечное число частных систем, каждая из которых состоит из конечного числа 2п+1 уравнений и такого же числа неизвестных. Это значит, что постоянные соответствуют данному порядку п и входят в 2п +1 однородных уравнений, не содержащих постоянных, отвечающих любому другому порядку. Уравнения для допустимых значений А получаются путём приравнивания нулю определителей каждой из этих частных систем. Соответственно, для каждого отдельно взятого порядка п они ведут к рациона.пьному алгебраическом уравнению д.пя Л конечной степени. [c.198] Ниже покажем, что степень уравнения по А, соответствующей порядку п, всегда равна + 4п + 1. Корни этого уравнения затем дают частоты возможных (малых) колебаний, а тогда и для любого выбранного корня А уравнения (15) дают отношения коэффициентов Ах А2 А2П+1, связанные с гармониками при колебании. В дополнении к этому, Картан показал, что вышеописанный способ применим фактически ко всем частотам, включая и те, которые находятся в промежутке от —2ш до 2ш. [c.198] Если эллипсоид обладает вековой устойчивостью относительно смещений порядка п, его потенциальная энергия будет иметь абсолютный минимум, поэтому система будет автоматически устойчива в обычном смысле, и все корни уравнения по А будут обязательно вещественными. Соответственно когда система развивается вдоль ряда Якоби в направ.пении возрастающего углового момента, вопрос об обыкновенной неустойчивости впервые возникает для гармонических деформаций третьего порядка. Далее будет показано, что при этих смещениях обыкновенная устойчивость исчезает одновременно с вековой устойчивостью. С физической точки зрения это равносильно тому, что эллипсоиды Якоби неустойчивы в обычном смысле на всех стадиях за той критической формой, в которой ответвляется грушевидный ряд. [c.199] Чтобы доказать это, необходимо более подробно рассмотреть уравнение для возможных значений А, но, как оказывается, результат зависит только от наибольших и наименьших членов уравнения. Их мы и рассмотрим. [c.199] Как было показано, уравнение для А, дающее частоты колебаний, получается путём исключения коэффициентов в многочленах t/ , г], (. Чтобы получить частоты порядка п, необходимо исключить коэффициенты при членах высшего порядка от х, у, z в многочленах ф, г], (, поскольку именно они содержат постоянные, связанные с гармониками MN порядка п. Члены более низкого порядка будут содержать постоянные, соответствующие поверхностным гармоникам также более низких порядков. Будет удобно, однако, оставить те же обозначения ф, Г], о для соответствующих частей этих многочленов, содержащих только члены высшего порядка. [c.200] Вернуться к основной статье