ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнение из "Устойчивость вращающихся масс жидкости " Мы докажем, что это неравенство выполняется строго для всех О, т. е. для всех Х + а а — ( , а это гарантирует то, что оно выполняется для к2, поскольку данное значение соответствует первой фигуре Якоби и в силу этого должно быть положительной величиной. [c.150] Его корни чередуются с корнями в (5) или (4). [c.151] Так как это уравнение первой степени, очевидно, что оно может иметь максимум один корень, больший, чем — ( . Отсюда, уравнение (8) может иметь максимум два таких корня, а уравнение (4) — максимум три, являющихся значениями Х + а , превышающими а — ( . [c.152] Отметим также, что если сю окажется корнем уравнения (4), а это (как будет показано позже) так и есть, то он будет считаться одним из тех самых максимум трёх корней, чье возможное существование подтверждается вышеописанным доказательством. Тогда это будет означать, что уравнение (4) может иметь максимум два конечных корня, больших а — ( . Этот результат нам очень пригодится ниже в случае (II). [c.152] Тогда мы можем записать Li = /X + p X)fi X), где р Х) = 1, /Х + аР, /Х + или у/(Л + а ) + Ь ), а / (Л) является рациональным многочленом от Л, в котором высшая степень имеет положительный коэффициент. [c.152] Если Ь1 содержит л/А + в качестве множителя, уравнение Fi = О не имеет корней. [c.153] По ясно, что Е имеет т как множитель всякий раз, когда р + гг нечётное, отсюда, в случае сфероидов (т. к. здесь следует учитывать возможность, что Ei = О имеет корень) функция Е должна быть такой, что число р + п чётное. [c.153] Отсюда, каждая для сфероидов, где р + п — чётное, даёт уравнение = О, имеющее единственный корень Х- - — , т.е. для некоторого положительного конечного значения Х- -( (пока не достигнут дискообразный сфероид) коэффициент устойчивости, соответствующий каждой L , для которой р - - п чётное, будет стремится к нулю и менять знак. Таким образом, вековая неустойчивость появится на некотором этапе для каждой из соответствующих гармонических деформаций. [c.154] Позже будет установлено, что та для которой сфероид впервые становится неустойчивым, равна 2 = 1+т и является гармонической функцией второго порядка, соответствующей п = 2, р = 2. Но перед тем, как показать это, рассмотрим оставшуюся возможную форму для Ьг. [c.154] Уже было показано (стр. 145), что смещения, соответствующие гармоническим функциям первого порядка, состоят из малых переносов эллипсоида параллельно осям координат. Для третьего из них, а именно для VА +, коэффициент устойчивости тождественно равен нулю, поэтому равновесие, как уже объяснялось, безразлично к соответствующему смещению. [c.155] как уже отмечалось в главе VI, такие деформации исключаются, т. к. они приводят к смещению центра тяжести с оси вращения, что означало бы непрерывный общий перенос всей массы в пределах принятой системы отсчёта, в то время как необходимо рассматривать только движение относительно осей, фиксированных в центре тяжес-ти . [c.155] Что касается сфероидов Маклорена, то вышеописанные пункты (I), (II) и (III) охватывают все возможные случаи. Перед тем как двигаться дальше, для удобства подытожим результаты предыдущих разделов о числе корней уравнения Fi X + a ) = О, лежащих между —( и сю. [c.155] Напомним, что эти результаты выполняются вообще для всех а с, и поэтому применимы в равной мере к исследованиям и ряда Маклорена, и ряда Якоби. Для ряда Маклорена установим теперь следующий результат. [c.156] Первый обращающийся в нуль коэффициент соответствует L2 (р = 2). [c.156] Чтобы доказать это, необходимо рассмотреть три различные формы для Li, охватывающие все случаи. Очень важно отметить, что мы вновь можем установить необходимые условия т. е. вышеописанное неравенство в действительности строго выполняется, и мы можем использовать его в доказательстве. [c.157] Сллучай ( ). Положим р = 0. Тогда п = 2], где ] — целое число, большее либо равное единице (т. к. р + гг обязательно чётное). [c.157] Случай (с). И, наконец, имеем р = 1, п = 2j + l т.к. р + п чётное). Необходимо отметить, что 1, поскольку j = О соответствовало бы гармонической функции первого порядка, а их мы уже исключили. [c.159] Отсюда следует, что коэффициент устойчивости, соответству-Ю1ЦИЙ 2 = 1 + т, исчезает раньше всех других L данного вида. [c.160] Объединяя эти три случая вместе, можно сделать вывод, что при убывании г от сю первым коэффициентом устойчивости, стремяш,имся к нулю, является коэффициент, связанный с функцией Ламэ 2 = + + Л второго порядка. Поэтому вековая устойчивость ряда Маклорена теряется в этой точке. Однако необходимо напомнить, что насто-яш,ий результат был получен при рассмотрении функции Ш что соответствует устойчивости относительно системы координат, вра-гцающейся с постоянной угловой скоростью. Поскольку гармонические функции, связанные с этой 2, являются многочленами второго порядка вида и ху, допустимо, чтобы в результате соответствующих деформаций поверхности ш изменялась в первом порядке малости . Поэтому необходимо доказать, что неустойчивость, проявляющая себя здесь, является истинной неустойчивостью (см. стр. 50). [c.160] можно сде.пать вывод, что сфероид Макпорепа об.падает вековой, а следовательно, и обыкновенной устойчивостью при всех деформациях (которые могут быть представлены разложениями эллипсоидальных поверхностных гармонических функций), если его эксцентриситет меридионального сечения меньше, чем у сфероида бифуркации, т. е. при е 0,8127. При значениях, превышающих данное, этот сфероид обладает вековой неустойчивостью. [c.162] Вернуться к основной статье