ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость из "Устойчивость вращающихся масс жидкости " Условие для точки бифуркации на линейном ряде можно легко определить аналитически. [c.28] Вернёмся к рис. 2. Нетрудно заметить, что в случае (I), когда исходная конфигурация находится непосредственно под точкой С, для малого приращения Sfi существуют три возможных смежных конфигурации равновесия, т. е. для данной системы определитель А в точке С должен быть равен нулю. В противном случае, очевидно, обязательно существует единственная смежная конфигурация. Аналогично, в случае (II) определитель А должен также исчезать в точке С. В случаях (III) и (IV) линейные ряды являются такими, что приращение Sfi само обращается в пуль при условии, что конфигурация остаётся на данной последовательности. Следовательно, в этих случаях определитель А также равен нулю в точке С. [c.29] Рассмотрим, как влияет обращение в нуль определителя А на устойчивость исходного ряда конфигураций при qi = ai. [c.29] Чтобы исходная конфигурация была устойчивой, потенциальная энер-гня дУ должна быть положительно определённой. Если это так, то по известной теореме 61, 62, Ьп тоже должны быть все положительными. Вообще же, независимо от знака, положительного или отрицательного, величины 61, 62, , Ьп называются коэффициентами устойчивости системы . Квадратичная форма может быть преобразована к сумме квадратов многими способами, поэтому и выбор коэффициентов этой формы также не является единственно определённым. Но каким бы способом не осуществлялось приведение, число положительных и отрицательных коэффициентов в конечном выражении будет одним и тем же. [c.30] Отсюда можно сделать вывод, что в точке бифуркации происходит потеря или приобретение устойчивости. Если система описывается частью устойчивого линейного ряда, она должна терять устойчивость для конфигураций нри его продолжении. Если ответвлённый ряд проходит через точку, для которой А = О, то оп будет устойчивым, когда изображающая кривая направлена вверх, так что при увеличении параметра л на ней становятся возможными новые равновесные конфигурации. Если же кривая направлена вниз, то новые конфигурации неустойчивы и поэтому пе реализуются. [c.31] А теперь приведём несколько простых примеров статических систем, и.п.пюстрирующих вышеописанную теорию. [c.31] Первое решение описывает горизонтальное положение стержня, которое всегда представляет возможную конфигурацию равновесия. Второе, при вещественном угле, даёт два симметричных положения с наклоном стержня к горизонтали. [c.32] Поскольку это выражение положительное, то такие наклонные положения, когда они возникают, являются всегда устойчивыми. [c.32] Следовательно, если взять отношение в качестве параметра, постепенно возрастающего от пулевого значения, то изначально существуют три возможных положения равновесия одно устойчивое с углом 0 = О и два симметрично расположенных относительно вертикали неустойчивых положений. Для 2 возможно только первое из этих положений, и опо является неустойчивым. Таким образом, рассматриваемая система классифицируется случаем (II) данной теории. [c.33] Предположим, что первоначально а равно нулю, а нить достаточно короткая для того, чтобы частица касалась круга. Тогда, если а постепенно увеличивается, по частица остаётся на круге, для каждого значения а будет только одно возможное положение равновесия, которое в пределе достигнет высшей точки. При любом дальнейшем увеличении а система перестанет быть статической и линейный ряд обрывается . [c.34] Вернуться к основной статье