ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость из "Устойчивость вращающихся масс жидкости " Монография посвящена теории устойчивости вращающейся жидкой гравитирующей массы, а именно тому ее классическому разделу, когда жидкость находится в состоянии относительного равновесия по отношению к вращающимся осям. [c.9] Данная задача принадлежит к тем разделам астрономии и гидродинамики, начало которым было положено открытием закона всемирного тяготения. Именно тогда стало возможным объяснять не только движение планет и спутников, но также и саму форму небесных тел. С той поры немало крупных ученых-математиков внесли свой вклад в развитие теории фигур равновесия. Имена Клеро, Маклорена, Якоби и Лиувилля говорят сами за себя. Но наиболее весомый вклад принадлежит А. Пуанкаре и нашему соотечественнику А. М. Ляпунову. В 1884-85 годы они независимо друг от друга установили, что в окрестности определенных сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, но все же счетное ) существуют неизвестные науке неэллипсоидальные фигуры равновесия. Научный мир с изумлением взирал на эти открытия. И если можно (а почему бы и нет ) сравнить новые фигуры с драгоценными кристаллами, то шахта для их добычи оказалась круто уходящей вниз, где на большой глубине могут работать лишь сильные разумом и духом исследователи. И именно отсюда, с этой глубины берут свое начало такие отрасли математики, как теория нелинейных интегральных уравнений, теория бифуркаций, здесь же возникло само понятие линейных рядов фигур равновесия. [c.9] Вот на этом фоне острой борьбы мнений и следует рассматривать книгу Литтлтона. [c.10] Язык оригинала архаичен и местами весьма труден для перевода. Немало в книге оказалось неточных и сомнительных рассуждений. Замечен в ней также ряд весьма существенных пробелов и прямых математических ошибок. Небольшие замечания по содержанию этого научного труда включены нами прямо в текст или размещены в сносках, а более обстоятельные и подробные комментарии вынесены в конец книги. [c.11] Но все это не умаляет ценности представляемой монографии. Это — не книга для легкого чтения, слишком сложен сам предмет рас-суждений. Со времени выхода оригинала прошло почти полвека, наука ушла вперед. Однако и классический материал, изложенный в книге Литтлтона, забывать никак нельзя. Книга будет полезна для научных работников в области астрономии и механики, а также математикам. [c.11] Настоящее издание охватывает ту часть теории устойчивости вращающихся гравитирующих жидкостей, которая является наиболее важной в определении эволюции таких систем. Эта задача интересна не только с математической и динамической точек зрения, но также и с космогонической, т. к. ее решение является единственным источником теоретической информации о том, как будет развиваться изолированная неустойчивая вращающаяся масса. В этой работе было сделано важное заключение о том, что выводы динамической теории об образовании двойных систем в процессе распада полностью противоречат взглядам Джинса и мнениям, широко распространенным среди астрономов. Поэтому данная работа разрушает теоретический базис для процесса деления, лишая его тем самым претензий на какую-либо роль в эволюции двойных систем. Таким образом, отвергая гипотезу деления, наше исследование устраняет и главные препятствия на пути дальнейшего развития важной проблемы звёздной эволюции. [c.12] В приложении даны многочисленные ссылки, которые, конечно, нельзя считать исчерпывающими, но найти необходимую литературу по данному предмету с их помощью не составит большого труда. [c.13] Первый член ряда Якоби является одновременно и сфероидом Маклорена идя далее вдоль последовательности, для больших значений углового момента экваториальные оси фигуры будут иметь уже разную длину, и фигура в целом будет вытягиваться. При стремящемся к бесконечности моменте вращения предельная фигура данного ряда неограниченно вытягивается одновременно средняя ось эллипсоида стремится к равенству с третьей, наименьшей осью, причём обе они приближаются к нулю. [c.15] Вплоть до этого момента исследования не выходили за рамки вопроса о существовании возможных форм равновесия. Так продолжалось до тех пор, пока Пуанкаре в 1885 г. не осветил эту проблему в своей работе, ставшей впоследствии знаменитой. В ней он создал метод для изучения трудной проблемы об устойчивости сфероидальных и эллипсоидальных фигур, который, кроме того, включал в себя и гораздо большее отыскание и изучение других форм равновесия. Без сомнения, тщательное изучение этих вопросов могло быть выполнено только с помощью математического аппарата эллипсоидальных гармонических функций, который к тому времени, когда Пуанкаре начал свою работу, был уже детально разработан Ламэ и другими . [c.15] Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16] В рассматриваемом случае, чтобы установить устойчивость грушевидных фигур, достаточно доказать их вековую устойчивость. С другой стороны, если ряд обладает вековой неустойчивостью, потребуется ещё дополнительное исследование для выяснения того, каким путём система будет развиваться в дальнейшем. Дарвин и подошел к этой задаче, имея целью разрешение вопроса о вековой устойчивости груши. Ту же цель преследовал и Ляпунов, увлеченный в своих многочисленных работах главным образом теоретической стороной задачи астрономические же при.пожения его интересова.пи меньше. Впоследствии и Джинс также заинтересовался доказательством только вековой устойчивости, убежденный, по-видимому, в том, что обыкновенная устойчивость не разрешит эту проблему. [c.18] С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20] Вернуться к основной статье