ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Стоячие нелинейные волны и резонаторы из "Введение в физическую акустику " До сих пор мы имели дело с нелинейными волнами в неограниченной среде. Однако, в физической акустике большое значение имеет распространение волн в ограниченных объемах-резонаторах, трубах, волноводах, образцах твердых тел. В таких системах возникают стоячие волны. Например, в резонаторах с большой добротностью нелинейность приводит к появлению дополнительных резонансов. Сами нелинейные явления благодаря большой добротности проявляются на резонансных частотах при весьма малых амплитудах, а добротность резонаторов может падать с увеличением амплитуды вынуждающей силы. [c.94] Если теория нелинейных волн, бегущих в одном направлении, получила большое развитие и здесь были разработаны достаточно мощные методы анализа (основанные на использовании уравнений типа Бюргерса), то для решения задач о стоячих нелинейных волнах такие методы разработаны в значительно меньшей степени. Достаточно сказать, что вопрос об отражении и преломлении волн конечной амплитуды еще недостаточно изучен. Законы отражения и преломления основываются на принципе Гюйгенса, в основу которого положен принцип суперпозиции, а он не выполняется для волн конечной амплитуды. [c.94] Законы отражения нелинейных упругих волн от границ становятся, вообще говоря, несколько (а в ряде случаев и существенно) иными по сравнению с линейной теорией. Например, если пилообразная волна падает нормально на абсолютно мягкую стенку, то, поскольку фаза волн давления меняется при этом на я, скачок давления переходит в скачок разрежения. Пилообразная волна становится неустойчивой, и разрывы сглаживаются. В других случаях наоборот, нелинейные эффекты подчеркиваются. [c.95] Рассмотрим сначала линейные собственные колебания (стоячие волны) для случая двух абсолютно жестких параллельных стенок (бесконечный импеданс) [12, 13], находящихся на расстоянии пк 2 (л=1, 2, 3,. ..) друг от друга (условие резонанса). Если при =0 кх, то для V у стенок, т. е. при х=0 и х 1=пк12, имеется узел и значения V равны нулю (узлы колебаний при любых п и при любых временах ). Наоборот, звуковое давление р на стенке будет иметь пучность и узел посередине между стенками. На рис. 4.4 представлены распределение скоростей и распределение давлений в стоячей волне между стенками через 1/8 периода (п=1). [c.95] Что изменится, если мы будем иметь дело с нелинейными колебаниями и волнами при тех же условиях Эту задачу можно решать как для простых, так и для квазипростых волн как задачу о распространяющихся навстречу двух таких волнах. Благодаря тому, что эти волны двилсутся навстречу друг другу, нелинейного взаимодействия в области между стенками эти волны не испытывают (угол а в (1.2) равен я, и эффекта накапливания искажения нет). Однако каждая из встречных волн искажается независимо кроме того, они связаны условиями на границах. Рассмотрение этой задачи приводит к тому, что форма профиля колебательной скорости V изменяется со временем, приобретая пилообразную форму (подробнее см. [12]), т. е. в решении задачи есть нарастающие во времени члены. Несколько иначе выглядит форма профиля давления р. [c.95] На рис. 4.5 показа ю, как изменяется распределение V ц р в нелинейной стоячей волне между двумя абсолютно жесткими стенками. Так же, как для линейного случая (рис. 4.4), на рис. 4.5 через 1/8 периода представлены мгновенные формы профиля V и р. Отметим, что если узлы для ь остаются все время на стенках, то узлы р смещаются ( бегают ) по х, что нужно учитывать в ряде экспериментов с большими амплитудами при использовании интерферометров со стоячими волнами. [c.95] 1) нетрудно получить уравнение второго приближения для Н . [c.96] Пользуясь этим числом, можно заранее сказать, насколько существенными будут нелинейные эффекты вблизи резонансов. При амплитуда колебаний на удвоенной частоте вблизи от линейных резонансов сильно растет как и в линейном резонаторе т. е. здесь возникают также нелинейные резонансы. При Яе 1 нелинейные эффекты оказываются несущественными. [c.97] Задача о вынужденных нелинейных колебаниях резонатора с комплексным граничным импедансом аналогичным методом рассмотрена в [16]. [c.97] Хотя метод последовательных приближений и дает возможность найти нелинейные резонансы и определить критерии роли нелинейных эффектов для резонаторов с высокой добротностью, он не может быть применен для задач, где нелинейные эффекты в стоячих волнах достаточно сильно выражены. Не может этот метод дать ответ и на вопрос о том, каково поведение добротности резонатора вблизи резонансов. В [18, 19] разработан метод для решения задач взаимодействия встречных, достаточно интенсивных периодических нелинейных волн, являющийся обобщением метода медленно изменяющегося профиля. [c.97] Это обобщение сводится к тому, что в уравнениях Бюргерса в сопровождающих координатах проводится усреднение по быстропеременным функциям, описывающим встречные волны (двигающиеся друг относительно друга с двойной скоростью звука и взаимодействующие только на границе). [c.97] Рейнольдса. Рост гармоник высоких номеров приводит к образованию пилообразной волны узлы скорости, как и в линейном случае, остаются неподвижными, тогда как узлы плотности и пучности давления перемещаются между узлами скоростей, а у колебательной скорости возникает дополнительный узел — бегущий разрыв. Когда разрыв движется вдоль резонатора, то уменьшается его положительная часть, а отрицательная увеличивается и к другому узлу скорости этот разрыв приобретает противоположную полярность. На границах резонатора возникают резкие перепады давления, тем большие, чем круче фронт волны для нахождения его ширины необходимо учесть процессы диссипации. Этот учет осуществляется при помощи уравнений Бюргерса для каждой из встречных волн. При больших значениях времени ударный фронт постепенно расширяется и стоячие волны снова становятся гармоническими. [c.98] В процессе образования ударной волны при собственных колебаниях резонатора увеличивается нелинейное поглощение и добротность резонатора падает. Последняя достигает минимума в момент образования разрыва. [c.98] Однако разработанный метод использования уравнений Бюргерса для встречных (или бегущих под углом) волн с дополнительным усреднением уравнений по быстропеременным функциям пока что не обобщен для границ резонаторов и волноводов, имеющих произвольное значение импеданса. [c.99] Вернуться к основной статье