ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нелинейные плоские волны в среде с дисперсией из "Введение в физическую акустику " Наглядную картину проявления характерных черт при распространении плоской нелинейной волны в диспергирующей среде можно проследить, изучая капиллярные волны конечной амплитуды на поверхности жидкости [231. и волны, о которых речь шла в гл. 1, имеют скорость распространения с = Уак р, т. е. эти волны диспергирующие. С другой стороны, для таких волн сильно выражены нелинейные явления благодаря нелинейности уравнений движения. Например, на рис. 3.7 показана форма профиля капиллярной волны, полученная теоретически [24] при различных отношениях амплитуды волны а к ее длине к. [c.80] Ф и усиливается усилителем У. Наблюдение нелинейных эффектов проводится в ближнем поле, когда волну можно считать плоской. Используются частоты 60—300 Гц и амплитуды волн 10 см однородность волнового поля легко контролировать при помощи стробоскопического освещения. Заметим, что на описанной установке легко проводить точные измерения скорости капиллярных волн по фигурам Лиссажу. [c.81] Из приведенного примера видно, что именно различие в скоростях первой со и второй 2 гармоник приводит к таким осцилляциям, в отличие от случая среды без дисперсии. [c.82] Здесь уже нет синхронизма между основной волной и ее гармониками. По этой причине и возникают пространственные биения амплитуды второй гармоники 2со, которые видны на рис, 3,9. Можно показать [1], что пространственный период этих биений определяется выражением Дз=2я 2— 1Г , где = и Й2= й/с2а (величину Аз называют длиной когерентности). [c.82] Таким образом, когда имеется дисперсия, для амплитуды второй гармоники нарастаюш,его решения в пространстве нет. Заметим при этом, что значение Аг, полученное экспериментально для капиллярных волн (рис. 3.9), совпадает с указанным теоретическим значением. [c.82] Мы уже говорили, что в акустике чаще приходится сталкиваться с более слабой дисперсией, чем в только что рассмотренном примере капиллярных волн. Слабой обычно называют такую дисперсию, влияние которой мало сказывается на изменении формы профиля волны на длине волны X или за период волны Т. [c.82] Это уравнение впервые было получено в 1895 г. двумя голландскими гидродинамиками Кортевегом и де Вризом [25] (которые вывели его в применении к изучению волн на мелкой воде) по этой причине его принято называть уравнением Кортевега — де Вриза (КдВ). [c.83] Как уравнение (4.4), так и (4.5) справедливы при М, О, аХ 1, т. е. для сред с малыми нелинейностями, дисперсией и затуханием на длине волны. [c.83] Одной из интересных и важных особенностей поведения солитонов служит то обстоятельство, что они локализованы в пространстве и, образовавшись, уже не меняют свою форму в нелинейной среде именно конкуренция нелинейности и дисперсии приводит к возможности сохранения формы солитонов. Со-литоны могут образоваться при распространении периодической пилообразной ударной волны в нелинейной среде с дисперсией. Благодаря тому, что пилообразная волна имеет крутой передний фронт, т. е. богата гармониками, из-за дисперсии появляются осцилляции ее формы, возникает тенденция к рассыпанию ее на со-литоны. [c.84] на рис. 3.10 показан пример распада на солитоны пилообразной волны, образовавшейся в нелинейной среде с дисперсией, приведенный в работе [31]. На рис. 3.10, а показана синусоидальная волна, которая после прохождения расстояния, равного расстоянию образования разрыва Хр, изменяет свою форму (3.10, 6). Благодаря тому, что волна имеет крутой передний фронт, т. е. богата гармониками, из-за дисперсии начинается ее отличие от пилы , переходящее к рассыпанию на солитоны. После того как волна проходит расстояние 3,6Хр, видна уже совокупность отдельных солитонов (рис. 3.10, в) их максимальные амплитуды лежат на одной прямой. Далее траектории солитонов пересекаются, так как солитоны с большей амплитудой движутся быстрее. [c.84] Вернуться к основной статье