ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функции с непрерывностью второго порядка для треугольных элементов из "Метод конечных элементов в механике жидкости " Построение интерполяционных функций для треугольных элементов существенно упрощается при использовании безразмерных косоугольных координат, рассмотренных ранее и приведенных на рис. 3.14. [c.123] Первоначально будем использовать производные перейдем к декартовым координатам. [c.123] Полученный в итоге элемент имеет 12 степеней свободы (рис. 3. 15). [c.126] Наконец, девятипараметрический вариант получается, если устранить повороты в узлах, расположенных посередине сторон. Этот элемент построен в работах [7, 8]. [c.126] Для случая элемента с 12 степенями свободы результаты обнаруживают удовлетворительную сходимость. Модель же с 9 степенями свободы оказывается слишком жесткой по сравнению с моделью с 12 степенями свободы вследствие введения дополнительных ограничений. [c.126] Изложим еще один подход к построению интерполяционного полинома, пригодного во всем треугольнике. Выше указывалось, что кубический полином не содержит достаточного числа параметров для обеспечения непрерывности нормальной производной. Обратимся к полиному четвертой степени, который содержит 15 параметров. Для такого полинома требуется пять условий на стороне, чтобы задать функцию и. В дополнение к значениям и и ди д8 в угловых точках можно выбрать значение и посередине данной стороны. Отметим, что мы уже ввели в сумме 12 узловых величин. Далее нормальная производная описывается полиномом третьей степени и требуются четыре условия для ее однозначного определения. В дополнение к уже введенным ранее двум производным на концах стороны в число этих четырех условий можно включить значения нормальной производной в двух внутренних точках на каждой стороне. В результате общее число узловых неизвестных возрастает до 18, а полином четвертой степени содержит лишь 15 произвольных параметров. Следовательно, использование такого полинома не может обеспечить получение совместного элемента. [c.126] ПО всему контуру области. [c.128] Этот результат используется при установлении границ приближенных решений. [c.129] Этот результат показывает, что приближенное решение, основанное на использовании совместной матрицы, приближается к точному снизу. Это становится очевидным из рис. 3.17, где результаты для прямоугольного несовместного элемента сходятся к точному решению, но не ограничены сверху. [c.129] Результаты для двух полностью совместных прямоугольных элементов сходятся к точному решению надлежащим образом, причем сходимость в случае 16 степеней свободы более быстрая. К сожалению, для этого случая смешанная производная д и/дх ду должна рассматриваться как узловая переменная, что крайне неудобно при выполнении каких-либо преобразований. [c.130] Треугольный элемент с 9 степенями свободы обнаруживает очень слабую сходимость вследствие того, что при его формировании был наложен ряд ограничений. Такая же формулировка, но включающая в число узловых неизвестных еще и углы поворота в узлах, расположенных в серединах сторон (треугольник с 12 степенями свободы), приводит к лучшей сходимости. [c.130] Наконец, треугольный элемент с 18 степенями свободы при использовании полинома пятой степени дает отличные результаты даже для самой грубой сетки. Элемент обеспечивает непрерывность как первых, так и вторых производных. Включение производных второго порядка в качестве узловых неизвестных предполагает их непрерывность в узлах, что не выполняется, когда толщина или свойства материала элемента разрывны. [c.130] Следует отметить, что хотя метод конечных элементов дает границы для величины полной энергии в случае использования совместных элементов, эти граничные значения сходятся монотонно только в случае, если дискретизации образуют минимизирующую последовательность. Это означает, чтг набор узловых неизвестных для л-й дискретизации включает в себя все узловые неизвестные, которые использовались в п—1 предыдущих дискретизациях. Чтобы удовлетворить этому требованию, п-я дискретизация должна содержать все предыдущие узлы, а интерполяционные выражения для элементов должны быть инвариантными, т. е. их вид не должен зависеть от ориентации или размеров элемента. К примеру, если квадратная область состоит из 2x2 квадратных элементов, следующая минимизирующая последовательность должна содержать 4x4 элементов, следующая — 8x8 и т. д. Разбиение 3x3 не соответствует этой минимизирующей последовательности, так как содержит другой набор узлов. [c.130] Вернуться к основной статье