ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полная интегрируемость фактор-системы из "Общая теория вихрей " Теорема 5. Пусть выполнены условия (а), (Ь) и (с) теоремы 1 из 3. Тогда решения фактор-системы на M/N находятся явно с помощью квадратур. [c.208] Этот результат имеет два аспекта. Во-первых, утверждается, что можно явно найти вихревые многообразия матрицы rottt, где u x,t, ) — полный интеграл исходного уравнения Ламба, и тем самым в явном виде представить уравнения фактор-системы. Во-вторых, утверждается, что дифференциальные уравнения фактор-системы можно явно проинтегрировать с помощью квадратур. [c.208] Чтобы ответить на этот вопрос, введем (как в 1) матрицу Г = = 7ij , обратную матрице rottt. Матрица Г также будет кососимметричной. [c.208] Выражение в левой части (4.5) — это скобка Пуассона функций /р и /д, представленная не в канонических переменных Х1.Х2к- После этих замечаний лемма 3 становится следствием леммы 3 из 4 главы II. [c.209] По аналогии с гамильтоновым случаем будем говорить, что функции fp и fg находятся в инволюции. Систему уравнений Биркгофа (4.1) назовем вполне интегрируемой, если интегралы (4.3) находятся попарно в инволюции. [c.209] Предложение 1. Вполне интегрируемая система Биркгофа интегрируется в квадратурах. [c.209] Тогда уравнения Гамильтона интегрируются с помощью квадратур. [c.209] Автономный вариант этого утверждения выведен в 3 из теоремы Лиувилля о полной интегрируемости. [c.209] В 1 главы II мы заметили, что локально уравнения Биркгофа (4.1) приводятся к обычным уравнениям Гамильтона. Однако, это приведение не конструктивно и поэтому предложение 1 формально не вытекает из теоремы Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновых систем. [c.211] В неавтономном случае эти поверхности зависят от времени 1 как от параметра. [c.211] Поскольку Fi,Fj = О, то каждая функция Fi является интегралом векторного поля V Vj Fi) = 0. Следовательно, Vj fi) = О для всех 1,3 = , .к. Это значит, что поля Vi касаются каждой поверхности Мр. [c.212] Однако, согласно условию (с), функции fi.fk независимы. Следовательно, все Aj равны нулю. Получили противоречие. [c.212] Отметим, что число независимых касательных полей (4.14) совпадает с размерностью интегральных поверхностей Мр. [c.212] Прежде всего надо показать, что системы уравнений (4.16)-(4.17) имеют решения. Действительно, [vi,vj] = О, а коммутаторы [vi,Wj] линейно выражаются через вихревые векторы w. Это вытекает из предложения 1 5 главы II с учетом замечания, что уравнение Ламба (3.10) не содержит производной от ковекторного поля и по независимой переменной, играющей роль времени. [c.213] Поскольку векторные поля (4.14) независимы, то из (4.16) и (4.17) однозначно находятся (с помощью только алгебраических операций) частные производные от функции по локальным координатам на М/з. Хорошо известно, что функция восстанавливается по ее частным производным с помощью нескольких интегрирований по одной переменной. Теорема полностью доказана. [c.214] Вернуться к основной статье