ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоммутативное интегрирование уравнений Гамильтона из "Общая теория вихрей " Мы рассматриваем область фазового пространства, где этот ранг постоянен. Отметим, что почти всюду ранг матрицы (2.2) принимает максимальное значение. [c.189] В теории некоммутативного интегрирования обычно рассматриваются замкнутые наборы интегралов (2.1) их скобки Пуассона являются функциями от Fi.Fn. Это предположение естественно с точки зрения теоремы Пуассона. Легко понять, что любой набор первых интегралов можно расширить до замкнутого набора с помощью дифференцирований и алгебраических операций (см., например, [26]). Однако предположение замкнутости не всегда необходимо. [c.190] Докажем первую часть теоремы Нехорошева о том, что компактные связные компоненты интегральных многообразий (2.5) будут торами. Для этого введем п-к гамильтоновых векторных полей VI. Vn-k, которые порождаются гамильтонианами Fi. Fn-k Поскольку эти функции по предположению независимы и находятся в инволюции со всеми функциями (2.4), то поля vi. v -k независимы, касаются 1с и попарно коммутируют. Так как dim/с = п — к, то отсюда вытекает требуемое (ср. с 1). [c.191] Попутно мы доказали, что в предположениях теоремы Нехорошева исходные дифференциальные уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах. Действительно, мы конструктивно строим (и - й)-мерные инвариантные многообразия и указываем в явном виде и - fe независимых касательных полей, которые попарно коммутируют между собой. Среди этих полей имеется исходное гамильтоново векторное поле. Остается воспользоваться теоремой Ли об интегрируемости в квадратурах системы уравнений, допускающей полную абелеву группу симметрий. [c.191] Следовательно, неравенство т п + к превращается в равенство и поэтому выполнено условие некоммутативной интегрируемости. [c.191] Обзор результатов по теории некоммутативного интегрирования гамильтоновых систем и связь этой теории со старыми результатами Ли, Картана и Дирака можно найти в книге А.Т.Фоменко [59]. [c.192] Покажем, как в этой задаче применяется теорема Нехорошева. Мы имеем четыре (3-Ы) интеграла Я, (квадрат модуля кинетического момента), Ку,К . Функции Я и К (в количестве 3-1) коммутируют со всеми интегралами. [c.192] Стоит еще отметить, что Н,К и образуют полный независимый набор интегралов в инволюции. Таким образом, все шестимерное фазовое пространство расслаивается на трехмерные инвариантные торы с условно-периодическими движениями. Однако, ввиду наличия еще одного независимого интеграла, эти трехмерные торы расслоены на двумерные торы, целиком лежащие на трехмерных инвариантных многообразиях, выделяемых условиями постоянства проекций Кх,Ку,К . При естественном проектировании на конфигурационное пространство, эти двумерные торы переходят в поверхности Бернулли из гидродинамической теории волчка Эйлера. [c.192] Следовательно, для расширенной автономной гамильтоновой системы справедливо равенство (2.3). [c.193] Из этих замечаний вытекает, в частности. [c.193] Теорема 2. Предположим, что неавтономная гамильтонова система с п степенями свободы допускает п + к независимых интегралов (2-4) (зависящих, вообще говоря, от времени), причем первые п — к из них находятся в инволюции со всеми интегралами (2-4) Тогда уравнения Гамильтона можно проинтегрировать с помощью квадратур. [c.193] Вернуться к основной статье