ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Гамильтона—Якоби и теорема Лиувилля о полной интегрируемости из "Общая теория вихрей " Согласно условию (1.3), из первой группы уравнений можно найти (по крайней мере локально) i. как функции от x,y,t. Эти функции — независимые интегралы уравнений (1.1), попарно находящиеся в инволюции j, j = О (лемма 1 из 4 гл. III). [c.184] Как заметил Лиувилль (1855 г.), последнее замечание можно обратить. [c.184] Теорема 1. Предположим что известны п независимых интегралов Fi x,y,t). Fn x,y,t) уравнений (1.1), находящихся попарно в инволюции Fi,Fj) = 0. Тогда уравнения (1.1) интегрируются в квадратурах. [c.184] Интегрирование в квадратурах означает возможность отыскания полного решения с помощью алгебраических операций (включая обращение функций) и вычисления интегралов функций одного переменного. [c.184] Ввиду неравенства (1.5) векторы 1. линейно независимы. Следовательно, а = О, что доказывает (1.7). [c.186] Для завершения доказательства теоремы 1 осталось воспользоваться теоремой Якоби о полном интеграле. [c.186] Здесь (ж1.ж ) = X — локальные координаты на гладком многообразии М , rottt — невырожденная матрица ротора ковекторного поля и х), h — гладкая функция на М . В силу предположения невырожденности rot и, п будет обязательно четным. По теореме Дарбу, заменой переменных х систему (1.13) локально всегда можно привести к каноническому виду уравнений Гамильтона. Однако это приведение лишь в исключительных случаях удается осуществить в явном виде. [c.187] Здесь 74,- — элементы матрицы, обратной rotгt. Скобки (1.14), очевидно, обладают всеми свойствами скобки Пуассона. [c.188] Теорема Ли — это непрерывный аналог знаменитой теории Галуа о решении в радикалах алгебраического уравнения с разрешимой группой перестановок его корней. Ее подробное доказательство с приложениями к уравнениям Гамильтона можно найти в книге [37]. [c.189] Отметим, что компактные связные компоненты неособых интегральных многообразий 1с будут и/2-мерными торами, причем в некоторых угловых координатах на этих торах компоненты векторных полей VI. Уп 2 постоянны одновременно. Таким образом, фазовые потоки векторных полей д, сводятся к равномерному движению по прямым линиям (см., например, [5]). [c.189] Вернуться к основной статье