ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вихри в диссипативных системах из "Общая теория вихрей " Здесь у = (у1.уп), у = дТ/дх — канонические импульсы, H(x,y,t) — функция Гамильтона, которую можно считать произвольной известной функцией от х, у и времени t. [c.139] Следовательно, систему (6.2) можно изучать методами гамильтоновой механики. Однако мы предпочтем прямой путь исследования, не опираясь на редукцию к системе (6.3). Следует иметь в виду, что в стационарном случае (когда функции Т и У не зависят явно от t) система (6.2) будет автономной, однако при переходе к (1.3) свойство автономности теряется. [c.139] Будем называть (6.6) обобщенным уравнением Ламба. В гидродинамике дополнительное слагаемое —ии имеет смысл силы внешнего трения. При = О получаем обычное уравнение Ламба. [c.140] Уравнение (6.6) можно представить в эквивалентном виде с помощью внешних дифференциальных форм. Положим, как обычно. [c.140] что левая часть этого равенства есть полная производная от формы О в силу системы (6.5). [c.140] Не исключено, что это утверждение справедливо и для диссипативных функций Релея общего вида. В его пользу свидетельствует следующее наблюдение. Если жо — изолированный минимум потенциальной энергии V, то эта точка будет асимптотически устойчивым положением равновесия для системы (6.1). В частности, пусть замкнутый контур 7 лежит в малой окрестности точки жо. Тогда контур (7) вырождается в точку жо при t -Ьоо и, следовательно, интеграл (6.10) стремится к нулю. [c.141] В нашем случае 2-форма 9 точна. Следовательно, ее класс когомологий тривиальный и поэтому (согласно и)) 0 -0 при 1 оо. [c.142] Преобразование (р (р + 6 t) не меняет поля градиента и позволяет положить в (6.13) / = 0. При и = 0 полученное уравнение совпадает с уравнением Гамильтона—Якоби. [c.143] Уравнение (6.13) в стационарном случае (когда функции ip,iy,f не зависят явно от t) получил впервые И. С. Аржаных [3], не связывая, правда, подстановку д(р/дх с теоремой Лагранжа. Им же доказана следующая теорема, обобщающая теорему Якоби о полном интеграле. [c.143] При = 0 получаем теорему Якоби. [c.143] Таким образом, если Q wi t), W2 t)) обращается в нуль при i = О, то эта функция тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы fi вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. [c.144] 15) и (6.17) получаем обобщенную теорему Бернулли при фиксированных значениях 1 функция ае постоянна на вихревых многообразиях. Следовательно, уравнения (6.16) представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающую канонические уравнения Гамильтона. Поскольку вихревые многообразия нумеруются координатами хх. Х2к, то отсюда снова получаем теорему Гельмгольца—Томсона. [c.145] Вернуться к основной статье