ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сведение к автономному случаю из "Общая теория вихрей " Введем (и + 1)-мерное пространство-время М = М хЖ(. Его точки (наборы переменных хх. будем обозначать буквой г. Для дальнейшего несущественно, что пространство-время имеет структуру прямого произведения. [c.109] В координатах г = x,t поле Ъ, конечно, имеет компоненты г , 1. Для уравнения (2.1) на самом деле несущественно, что его решения параметризованы временем t. Ключевую роль здесь играют интегральные кривые поля v они касаются во всех своих точках кторов из поля V. Если параметризовать интегральные кривые в М переменной t и затем спроектировать их на М, то получим решения исходного уравнения (2.1). С этой точки зрения важно не само поле v, а определяемое им поле направлений (векторы v можно умножить на любую функцию от 2 , отличную от нуля). Следуя релятивистской механике, интегральные кривые поля V можно называть мировыми линиями. [c.109] Пусть п четно и 2-форма ф является неособой. Тогда вектор v определен однозначно с точностью до ненулевого множителя. В общем случае у формы ф имеются другие линейно независимые вихревые векторы. Среди них — векторы w, имеющие в координатах x,t компоненты w,0, где w — вихревой вектор 2-формы Q = du в п-мерном пространстве М. Число независимых вихревых векторов w равно п — rank(rottt). Эти векторы играют в нашей теории ключевую роль. Ясно, что векторы вида v + w также будут вихревыми для формы ф. [c.110] Ранг кососимметрической матрицы (2.4) может быть одним из чисел 4, 2, 0. Ее определитель равен с Е,Н) . Следовательно, rankF = 2, если поля Е и Н ортогональны и отличны от нуля. Именно этот случай представляет наибольший интерес с точки зрения теории электромагнитных волн. [c.111] Проекции интегральных кривых поля (2.6) на = xi,X2,xz) будут магнитными силовыми линиями, а пространственные компоненты поля (2.7) определяют направление распространения электромагнитной волны. [c.111] Из леммы о вариации действия ( 6 гл. I) сразу же выводится вариационный принцип интегральные кривые поля v являются экстремалями функционала (2.8) в классе кривых с фиксированными концами. [c.112] Однако ЭТОТ интеграл равен нулю, поскольку 2-форма ф обращается в нуль на любой паре линейно независимых векторов, касающихся Г (ввиду (2.3), поскольку Ъ касается Г по построению). [c.113] Если 71 и 72 — сечения трубки мировых линий гиперповерхностями и = 2 5 то равенство (2.9) переходит в теорему 2 из 1. [c.113] Здесь 7 — любой замкнутый контур на конфигурационном пространстве М. Этот факт обобщает наблюдение Картана ([28], п.24), что дифференциальные уравнения траекторий и дифференциальные уравнения вихревых линий в гидродинамике идеальной жидкости допускают один и тот же линейный интегральный инвариант. [c.113] Для доказательства инвариантности интеграла (2.11) осталось использовать равенство (1.9). [c.114] Поскольку форма О замкнута (йО = 0), то (2.12) и (2.14) эквивалентны. [c.115] При к = 2 получаем (2.16). Предложение 2 фактически принадлежит Картану ([28], п.30), только вместо явной формулы для ф Картан приводит правило ее вывода в явное выражение для формы fi вместо дифференциалов dxi надо подставить разности dxi — Vidt. [c.115] Этот интеграл представляет, конечно, абсолютный инвариант системы (2.18). Сохранность интеграла (2.19) выражается известным уравнением неразрывности (1.3) из гл. I. [c.116] Картан назвал эту форму элементом материи. Если мы рассмотрим трехмерную совокупность частиц сплошной среды, причем каждая частица рассматривается в свой определенный момент ее движения, то в четырехмерном пространстве-времени хх, Ж2, жз, 1 получим трехмерную область т. Интеграл от 3-формы по т, очевидно, равен общей массе совокупности рассматриваемых частиц. [c.116] Как заметил Картан, в общем случае предложение 2 не справедливо для относительных инвариантов. Мы дополним наблюдения Картана следующим утверждением. [c.116] Здесь d обозначает операцию внешнего дифференцирования в (и + 1)-мерном пространстве-времени. [c.117] Фазовый поток этой системы g при малых значениях а можно трактовать как операцию варьирования. [c.117] Теорема 4. Если группа преобразований g пространства-времени не меняет значений функционала действия, то уравнения (1.2) имеют первый интеграл ср и). [c.117] Вернуться к основной статье