ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Дамба и уравнения Гамильтона из "Общая теория вихрей " Тензорные объекты и, V, Н заданы на некотором связном гладком многообразии М = ж . [c.103] Конечно, уравнения (1.1)-(1.2) можно изучать безотносительно их происхождения из гамильтоновой механики. Однако с методической точки зрения проще действовать по-другому. Мы покажем, что каждое уравнение (1.1) есть уравнение Ламба для и-мерной инвариантной поверхности некоторой гамильтоновой системы. Это обстоятельство дает возможность воспользоваться известными результатами об уравнениях Гамильтона из первой главы. [c.103] Они задают течение несжимаемой жидкости по трехмерному тору = ж1,Ж2,жз, mod27r , причем скорость коллинеарна своему ротору (см. (1.18) из гл. I). Для почти всех значений 1, 2, з имеются зоны квазислучайного движения частиц. [c.104] Сопряженными каноническими переменными являются координаты Zi,Zn/2+i (1 п/2). [c.106] Для дальнейшего особый интерес представляют случаи вырождения матрицы ротора. [c.106] Здесь 7 — любой замкнутый контур на М. Теорема 2 есть следствие теоремы Пуанкаре (из 6 гл. I) интеграл (1.6) — ограничение инварианта Пуанкаре на замкнутые кривые, целиком лежащие на инвариантной поверхности S . Этот простой, но важный результат распространяет теорему Томсона о сохранности циркуляции на многомерный случай. [c.106] Если путь 7 замкнутый (является циклом), то согласно (1.8) и формуле Ньютона—Лейбница, / = 0. Надо сказать, что формула (1.9) справедлива для любой й-формы ш и любой й-цепи 7. [c.107] Теорема 3. Если поле и х,1) потенциально при 1 = О, то оно будет потенциальным для всех Ь. [c.107] Легко понять, что если поле и имеет однозначный потенциал ср в целом на М при i = О (т. е. форма ш точна), то это свойство имеет место при всех t. [c.108] Если уравнения (1.1) получены как уравнения Ламба для потенциальной инвариантной поверхности уравнений Гамильтона, то (1.10) превращается в известное уравнение в частных производных Гамильтона—Якоби. [c.108] Вернуться к основной статье