ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Дамба и проблема устойчивости из "Общая теория вихрей " Пусть f = у — и х,1). Нам надо показать, что / = О, когда / = 0. Точка означает производную в силу канонических уравнений с функцией Гамильтона Н. Таким образом, с одной стороны. [c.84] Вывод уравнения (8.7) из уравнения (8.2) повторяет вывод интеграла Лагранжа—Коши из уравнений Ламба для потенциальных течений баротропной жидкости в потенциальном поле (см. 1). [c.86] Если rot м = О, то соответствующее инвариантное многообразие S мы назвали потенциальным или лагранжевым. Инвариантные многообразия, для которых rot и ф О, будем называть вихревыми. Наша цель — изучение вихревых многообразий. [c.86] Уравнения (8.2) появились, по-видимому, впервые в вариационном исчислении как условие согласованности полей экстремалей (которые, как известно, описываются каноническими уравнениями). Правда, там обычно рассматриваются лишь самосопряженные (потенциальные) поля. Поле в вариационном исчислении обозначает п-параметрическое семейство непересекающихся экстремалей оно порождает и-мерное инвариантное многообразие в 2и-мерном фазовом пространстве (см. [12, 19]). Условие согласованности поля обычно записывают в виде уравнения (8.4), которое является аналогом уравнения Эйлера (1.2) из гидродинамики. Преобразование Ламба (переход от (8.4) к (8.2)) применялось в теории гамильтоновых систем в связи с анализом линейных по импульсам инвариантных соотношений (см. [43, 57]). И.С.Аржаных [3] обобщил уравнение Ламба на негамильтоновы системы (в частности, неголономные) и распространил метод Гамильтона—Якоби для их точного интегрирования. Однако до работы [33] уравнение (8.2) обычно не связывали с идеями гидродинамики. [c.86] Теорема 16. При достаточно малых значениях t существует гладкое решение u x,t) уравнения (8.2), такое, что м(ж, 0) = мо(ж) при всех X е М. [c.86] При больших значениях 1 решение и х,1) оказывается, как правило, негладким и неоднозначным. Соответствующие примеры для потенциальных решений указаны в 3. В этом случае уравнение Ламба становится непригодным и для описания движения следует использовать исходные канонические уравнения на Р = Т М. Считается, что в гидродинамике идеальной жидкости возможно аналогичное явление за конечное время решение уравнений Эйлера и уравнения непрерывности с гладким начальным данным теряет необходимую гладкость и однозначность. С физической точки зрения это означает, что классическая гидродинамическая модель перестает действовать. [c.87] Эти соотношения образуют алгебраическую систему 2и уравнений для отыскания 2и начальных данных. [c.90] Решение краевой задачи (8.13) методом прогонки имеет большое преимущество по сравнению с традиционным методом, когда сначала отыскивается общее решение уравнений Гамильтона, а затем значения произвольных постоянных подбираются таким образом, чтобы удовлетворить краевым условиям (8.13). Это преимущество особенно отчетливо проявляется при численных расчетах. [c.91] Инвариантное многообразие у = Ах + Ь системы (8.15) является потенциальным только в том случае, когда матрица А симметрична. Легко показать, что если матрица А, удовлетворяющая уравнению Риккати, симметрична в какой-то момент времени, то = А для всех значений 1. Этот простой результат является частным случаем общей теоремы Лагранжа о потенциальности решений уравнений Ламба (см. гл. II). Таким образом, если матрица Ах несимметрична, то указанное инвариантное многообразие будет вихревым. [c.92] Однако в действительности движение системы определяется не только положением, но и скоростью в любой фиксированный момент времени. К тому же Декарт не указал принципов построения поля V для различных механических систем. [c.93] Одним из основных достижений Ньютона было осознание того факта, что динамика реальных систем описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. Конечно, в этом вопросе Ньютон имел предшественников, в первую очередь Галилея, который ввел в механику понятие ускорения и получил простейшие уравнения второго порядка для описания свободного падения тел в пустоте. Для того чтобы свести уравнения движения к исследованию динамической системы (к уравнениям первого порядка), приходится удваивать размерность пространства положений и вводить вспомогательное фазовое пространство. Между тем, как правило, нас интересуют не сами фазовые траектории, а лишь их проекции на конфигурационное пространство. [c.93] Однако можно решать задачи динамики, не выходя из конфигурационного пространства. Для этого сначала надо найти решение уравнения Ламба (8.2) (которое представляет собой систему уравнений в частных производных на М), а затем решить уравнение (8.18), вычислив векторное поле V по решению уравнения Ламба согласно (8.3). Исходным пунктом такого построения, как и в обычном подходе, является гамильтониан механической системы. Как мы уже видели, использование уравнения Ламба в численных расчетах при решении краевых задач представляет серьезные преимущества по сравнению с традиционными методами, основанными на непосредственном интегрировании 2п дифференциальных уравнений Гамильтона. Уравнения Ламба особенно эффективны в тех случаях, когда требуется исследовать и-параметрические семейства решений гамильтоновых систем (как. [c.93] С физической точки зрения уравнения (8.2)-(8.3) и (8.18) описывают движение бесстолкновителъной среды движущиеся по различным траекториям частицы не взаимодействуют друг с другом (в частности, среда настолько разрежена, что ее частицы проходят друг сквозь друга не сталкиваясь). Модель бесстолкновительной среды с потенциальным полем начальных скоростей используется в астрофизике для объяснения образования звездных скоплений (соответствующие ссылки можно найти в [9]). [c.94] Инвариант (8.19) можно тогда трактовать как сохранение массы, а уравнение (8.20) как уравнение неразрывности. [c.94] Так как detP 7 О по предположению, то ж = О — единственное равновесие системы (9.1). Поскольку уравнения (9.1) линейны, то устойчивость состояния равновесия ж = О, ж = О эквивалентна условию ограниченности всех решений (9.1). Из интеграла (9.2) сразу же вытекает простая, но очень важная, теорема Лагранжа—Кельвина если потенциальная энергия V x) = (Рж,ж)/2 имеет минимум в точке ж = О, то это равновесие остается устойчивым после добавления любых гироскопических сил. Менее тривиальной является следующая теорема Кельвина если степень неустойчивости нечетна степень неустойчивости — это индекс квадратичной формы V), то гироскопическая стабилизация вообще невозможна. Обзор результатов по проблеме гироскопической стабилизации можно найти в работах [16, 27]. [c.96] С помощью преобразования Лежандра можно перейти к уравнениям Гамильтона с квадратичным гамильтонианом и затем воспользоваться теорией инвариантных соотношений из 8. Однако здесь проще действовать непосредственно, не переходя к каноническому виду уравнений (9.1). [c.96] Для потенциальных инвариантных плоскостей к х) = 0. [c.97] Если линейная система и-го порядка (9.3) имеет неограниченные решения, то, очевидно, равновесие ж = О неустойчиво. Наоборот, пусть функция Н имеет в точке ж = О строгий экстремум (максимум или минимум). Тогда все решения системы (9.3) ограничены. Отсюда, конечно, еще не вытекает устойчивость равновесия ж = О исходной системы (9.1). [c.97] Вернуться к основной статье