ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод Гамильтона—Якоби и принцип Гюйгенса из "Общая теория вихрей " Это уравнение было открыто Гамильтоном в 1824 году в геометрической оптике, а спустя десять лет оно было распространено им на механику систем с потенциальными силами. Уравнение (7.1) называется уравнением Гамильтона в частных производных или (еще чаще) уравнением Гамильтона—Якоби, поскольку Якоби упростил его вывод и открыл важные свойства этого уравнения. [c.73] Это свойство можно фазить более кратко, вводя расширенное фазовое пространство Р = Р х В пространстве Р соотношение у = дЗ/дх задает фиксированную (и + 1)-мерную поверхность Е. Е инвариантность означает, ч то если вихревая линия пересекается с Е, то она целиком лежит на Е. [c.74] Теорема 12 отмечена Пуанкаре в п. 19 его Новых методов небесной механики (1892) [51]. Там же дано общее определение инвариантных соотношений, занимающих промежуточное положение между решениями и интегралами. Теорема Пуанкаре переоткрыва-лась разными авторами (см., например, трактат Т. Леви-Чивита и У. Амальди [43], гл.Х). На самом деле теорема 12 фактически содержится в теории характеристик Монжа дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В отличие от уравнения Гамильтона—Якоби, в теории Монжа рассматриваются уравнения, которые могут явно содержать неизвестную функцию. Поэтому в общем случае теорему 12 формулируют в несколько иной форме (см. по этому поводу [41]). [c.74] Знак - во второй группе уравнений (7.4) поставлен из соображений удобства (ср. с (7.3)). Напомним, что общее решение системы 2п дифференциальных уравнений Гамильтона — это семейство решений, зависящее от 2п произвольных постоянных (их можно выразить через начальные координаты и импульсы). Первое из уравнений (7.5) представляет инвариантное соотношение (по теореме 1), а функции д8/дс1. д8/дсп с учетом этого соотношения составляют набор независимых интегралов канонических уравнений Гамильтона. Так как выполнено неравенство (7.4), то по теореме о неявных функциях из второго соотношения (7.5) можно найти координаты х как функции от и 2и произвольных постоянных Ь,с. Подставляя полученные выражения в первое соотношение (7.5), получим импульсы в виде функций от 1, Ь, с. [c.76] Однако эта сумма равна нулю, что проверяется дифференцированием уравнения (7.1) по параметру с. [c.77] Теорема 13 установлена Якоби в 1837 г. Следует заметить, что обратная теорема о том, что решение уравнения с частными производными типа Гамильтона приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (дифференциальных уравнений характеристик), имеющей в рассматриваемом случае форму Гамильтона, высказана Пфаффом и Коши в развитие еще более ранних исследований Лагранжа и Монжа, еще до того как Гамильтон и Якоби начали заниматься вопросами динамики (Э. Уиттекер [57]). Наиболее эффективный прямой метод решения уравнения Гамильтона— Якоби — это метод разделения переменных полный интеграл есть сумма слагаемых, каждое из которых зависит только от одной из переменных Ж1,. .., ж , I. [c.77] Уравнение Гамильтона—Якоби, конечно, имеет вид (7.6). Роль независимых переменных х играют обобщенные координаты и время. Специфика уравнения Гамильтона—Якоби заключается в том, что оно не содержит явно искомой функции г. [c.77] Решение г = г х) уравнения (7.6) определяет в (га+1)-мерном пространстве переменных ж1. Хт, = гиперповерхность, которая называется интегральной поверхностью. В стандартной евклидовой метрике Ж вектор у = 2/1. Ут, 1 7 О ортогонален этой поверхности. Гиперплоскость в Ж + , проходящую через точку (ж, г) ортогонально вектору у, компоненты которого удовлетворяют соотношению (7.6), назовем допустимой. Согласно условию (7.7), допустимые плоскости, проходящие через одну и ту же точку Ж + , образуют гладкое (га - 1)-параметрическое семейство. Таким образом, решение уравнения (7.6) можно трактовать как нахождение гиперповерхностей 2 = -г(ж), все касательные плоскости которых являются допустимыми. [c.78] Рассмотрим теперь семейство решений 2 = г х, с) уравнения (7.6), зависящее от параметров с = (с1. с ), и пусть Z(x) — ее огибающая. Это означает, что для каждой точки (жо,2Го) Ж , удовлетворяющей уравнению = Z xo), найдется такое значение со, что интегральная поверхность 2 = 2 (ж, со) содержит точку (жо,2Го) и касательная к ней плоскость в этой точке совпадает с касательной плоскостью к поверхности г = г х). Поскольку касательная плоскость будет допустимой, то функция X г х) — решение уравнения (7.6). В этом и состоит теорема Лагранжа, установленная им в 1772 г. в мемуаре, представленном Берлинской академии наук. [c.78] В случае, когда уравнение (7.6) не содержит 2 (именно к такому типу относится уравнение Гамильтона—Якоби) теорему Лагранжа можно слегка видоизменить. Пусть г х, с) — семейство регулярных решений (7.6), т. е. [c.78] Теорема 14. Огибающая семейства т—1)-мерных поверхностей а(с) (если она существует) является поверхностью уровня некоторого решения уравнения (7.6). [c.78] Например, эти условия выполняются, если р = , q = i, г = 2. Таким образом, задача об отыскании огибающей двухпараметрического семейства кривых в пространстве является вполне корректной. [c.79] Если z x, с) — полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби, то число параметров г = га - 1. Поскольку р = т - 1, q = т 2, то условия (7.8) заведомо выполнены. Следовательно, типичные гладкие семейства гиперповерхностей а(с) обязательно имеют огибающие. [c.79] После Френеля развитие оптики пошло по пути изучения упругих колебаний оптической среды — эфира. Так, например, Мак-Куллах в 1839 г. получил для таких колебаний уравнения, совпадающие по форме со знаменитыми уравнениями Максвелла. Однако, эти исследования носили феноменологический характер и не имели под собой надежной физической базы. [c.81] Таким образом, п = лД является показателем преломления оптической среды, S x) = onst представляет приближенное уравнение поверхностей равных фаз, а нормали к этим поверхностям совпадают с направлениями световых лучей. [c.83] Обоснование предельного перехода от уравнения (7.13) к уравнению (7.15) на самом деле представляет деликатную задачу, с которой можно познакомиться по книгам [21], [45]. [c.83] Вернуться к основной статье