ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Действие в фазовом пространстве и инвариант Пуанкаре— Картана из "Общая теория вихрей " Этот интеграл будем называть действием в расширенном фазовом пространстве или просто действием. [c.64] Лемма 1 (о вариации действия). [c.65] Формула (6.3) получена впервые Эли Картаном в его Интегральных инвариантах . Подчеркнем ее универсальность она не зависит от вида 1-формы ср. [c.65] Следствие 1. Вихревые линии в расширенном фазовом пространстве совпадают с экстремалями действия в классе кривых с закрепленными концами. [c.66] Эти уравнения называются уравнениями Уиттекера. В общем случае система (6.8) будет уже неавтономной. Если координата ж циклическая (она не входит явно в выражение для гамильтониана), то канонические уравнения Уиттекера автономны и их число степеней свободы снова можно понизить на единицу. Уравнения (6.8) несложно получить прямыми вычислениями, однако мы применим принцип стационарности действия. [c.68] Доказательство теоремы Уиттекера. [c.68] Поскольку в локальных координатах xi. ж 1,ж , i/i. [c.68] Однако среди 2п + 2 переменных x,y,t,h, h = -Я) не все являются независимыми одна из них (переменная К) — известная функция остальных. На самом деле не существенно, относительно какой из 2и + 2 переменных разрешать уравнение % = 0. Например, в неавтономном случае это уравнение можно разрешить относительно t и тогда роль времени будет играть переменная h. [c.69] Совокупность таких вихревых линий образует цилиндрическую поверхность Г — вихревую трубку. Переменная з является параметром на вихревых линиях ее можно выбирать разными способами. Рассмотрим на Г замкнутую кривую 71, которая получается из (6.9), если зафиксировать значение з. Положим, для определенности, в = 1. Кривые 7о и 71, очевидно, гомотопны на Г (70 непрерывно переходит в 71 при изменении параметра в от О до 1). [c.70] Но это и есть искомое соотношение (6.10). [c.70] Замечание. Теорему Картана можно было бы доказать с помощью формулы Стокса, примененной к вихревой трубке Г, ограниченной гомологичными циклами 70 и 71 (как при доказательстве теоремы Малюса из 3). [c.70] Именно так формулировал свою теорему Пуанкаре. Эта теорема аналогична теореме Томсона из гидродинамики. Интеграл (6.12) называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре. Слово универсальный означает, что интеграл (6.12) является инвариантом для всех гамильтоновых систем, заданных на одном и том же фазовом пространстве. Согласно теореме Ли Хуа-Чжуна [69], любой универсальный инвариант первого порядка отличается от инварианта Пуанкаре лишь постоянным множителем. Более того, как установлено в работе [38], конкретные гамильтоновы системы со сложным поведением фазовых траекторий вообще не допускают других интегральных инвариантов. Примером могут служить уравнения задачи трех тел. [c.71] Вернуться к основной статье