ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип Ферма, канонические уравнения Гамильтона, оптико-механическая аналогия из "Общая теория вихрей " На рис. 11 изображен преломленный луч АС В, длина которого, конечно, больше прямолинейного отрезка АВВ. Однако время движения частицы света по пути АСВ меньше времени движения по прямой АВВ. В связи с этим Ферма пишет, что . .. природа действует наиболее легкими и доступными путями. Мы полагаем, что именно так нужно выражать эту мысль, а не так, как это принято обычно говорить, что природа всегда действует по кратчайшим линиям . [c.42] С принципом Ферма согласуется также закон отражения световых лучей. Поэтому принцип Ферма естественно положить в основу всей геометрической оптики. Правда, при этом его надо формулировать как принцип стационарности времени распространения света (а не как принцип минимального времени). Дело в том, что через точки, расположенные после каустики, проходят несколько световых лучей различной оптической длины (см. рис. 9). [c.42] В механике это уравнение принято называть уравнением Лагранжа. По определению показателя преломления, функция х 1) удовлетворяет соотношению Ь = 1. [c.45] гладкий путь х 1) описывает движение световой частицы, если эта функция удовлетворяет уравнению (4.7) и соотношению Ь =. Рассмотрим более общий световой путь х 1), представляющий кусочно-гладкую кривую, трансверсальную границам раздела оптических сред. Точки разрыва скорости х 1) отвечают моментам отражения или преломления луча. В промежутках между точками разрыва функция х Ь) удовлетворяет уравнению Лагранжа (4.7) (и, конечно, уравнению Ь = 1), а в точке разрыва 1 = т скорости х т — 0) и х т + 0) связаны законом отражения или преломления соответственно. Можно показать, что такие пути и только они доставляют стационарное значение действию по Ферма. [c.45] Соответствие Ь Н называется преобразованием Лежандра. В силу двойственности формул (4.8) и (4.11), а также симметрии соотношения (4.10) по отношению к функциям Ь и Я, преобразование Лежандра инволютивно его квадрат будет тождественным преобразованием. [c.46] Дифференциальные уравнения (4.13) принято называть каноническими уравнениями Гамильтона, а функцию Я — гамильтонианом. [c.46] Пространство сопряженных переменных х,у называют фазовым пространством (по предложению У. Гиббса). [c.47] Первое уравнение системы (4.13) совпадает с уравнением (4.11) и является непосредственным следствием преобразования Лежандра (оно фактически было получено Пуассоном). Второе уравнение (4.13) получается из уравнения Лагранжа (4.7) после замены дЬ/дх на импульс у и использования соотношения (4.12). Если воспользоваться соотношением (4.11) и преобразованием Лежандра Н Ь, то уравнения Гамильтона (4.13) перейдут в уравнение Лагранжа. [c.47] Эту трудность можно преодолеть следующим образом. Введем замкнутое множество точек Ж , удовлетворяющее уравнению Ь у,х) = 1. Эта поверхность называется индикатрисой в точке ж Можно сказать, что индикатриса — это совокупность скоростей частиц света, выпускаемых из точки х по разным направлениям. Например, для изотропной среды индикатриса в точке х является сферой радиуса 1/и(ж), где п — показатель преломления. Ниже рассматривается важный для оптики случай, когда индикатрисы являются гладкими выпуклыми поверхностями. [c.47] Значит, эта квадратичная форма положительно определена на касательной плоскости к каждой точке индикатрисы. [c.49] Уравнения (4.16) получены Гамильтоном в работе О системах лучей , представленной в 1824 году Ирландской академии наук. Впоследствии (1834 г.) он распространил этот результат на динамику консервативных систем. [c.50] Теорема 7. Световые лучи в оптической среде = ж с показателем преломления п х) являются траекториями движения материальной точки в потенциальном поле с силовой функцией п /2. [c.50] Теорема 7 составляет содержание оптико-механической аналогии, установленной Иоганном Бернулли еще в 1696 году. [c.51] Световые лучи — параболы, обращенные выпуклостью вниз. Так что на самом деле путник видит не водяную поверхность, а голубое небо. [c.52] Вернуться к основной статье