ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы лучей, законы отражения и преломления, теорема Малюса из "Общая теория вихрей " Таким образом, система лучей однозначно связана с полем v x) скоростей частиц света. Для однородной и изотропной среды, очевидно, г (ж) = onst и интегральные линии поля V являются прямыми. [c.35] Равенство (3.3) отмечено впервые, по-видимому, Зоммерфельдом и Рунге в 1911 г. [78]. [c.36] Таким образом, время движения частиц света от поверхности W x) = Si до поверхности W x)=S2 равно S2 — si. Поэтому функцию W еще называют оптическим путем. [c.37] Системы лучей, для которых rotw ф О, называют системами Кум-мера. Они изучались Куммером чисто алгебраическими средствами безотносительно к оптическим задачам [72]. [c.37] Плоско-параллельные системы лучей (когда компоненты поля скоростей V не зависят явно от хз и vs = 0) являются системами Гамильтона (ротор скорости ортогонален плоскости Х1Х2). В частности, каждая система лучей на плоскости будет системой Гамильтона. [c.37] Теорема 4 (Малюс). Если система лучей ортогональна некоторой регулярной поверхности, то она будет системой Гамильтона и останется таковой после любого числа отражений и преломлений. [c.38] Доказательство теоремы Малюса. [c.38] Рассмотрим две оптические среды 1 и 2 с показателями преломления И1 и И2, разделенные регулярной поверхностью Л (рис. 6). Введем кусочно-гладкое векторное поле и х) = п ь х) в средах 1 и 2 оно задается формулами n vl и 2 2. Пусть Г1 — замкнутый контур в среде 1. [c.38] Рассмотрим трубку М1 световых лучей, проходящих через точки контура Г и трансверсально пересекающую поверхность раздела по замкнутой кривой К. После преломления эти лучи образуют трубку М2 в среде 2. Пусть Г2 — замкнутый контур на трубке М2, гомологичный контуру К. [c.38] Таким образом, интегралы (3.10) и (3.11) равны, что доказывает (3.8). [c.39] По теореме Малюса, поверхности ортогональны световым лучам на этих поверхностях эйконал принимает постоянные значения. [c.40] Оказывается, при О поверхности могут иметь особенности. Это явление показано на рис. 7 для эллипса на плоскости поле V направлено внутрь эллипса. Появление особенностей связано с наличием каустик — огибающих семейств световых лучей (каустика по-гречески означает жгущая в этих местах происходит концентрация света). На рис. 8 изображена каустика эллипса (эта кривая — астроида). Каустики поверхности Е в общем случае сами являются поверхностями. Особенности ортогональных поверхностей Е( расположены как раз на каустиках Е. [c.40] Каустики делят пространство на области, которые световые лучи заполняют с различными кратностями через точки каждой такой области проходит одинаковое число лучей. По этой причине на каустиках эйконал имеет особенности он начинает ветвиться и становится многозначной функцией. [c.40] Каустика допускает следующее конструктивное описание. Пусть X — точка поверхности Е. Плоскость, проходящая через нормаль к Е в точке X, пересекает поверхность Е по плоской кривой. Пентр круга кривизны этой кривой в точке х лежит, конечно, на нормали. Если мы будем вращать плоскость сечения вокруг нормали, то кривая пересечения будет постоянно меняться, а вместе с ней будет меняться положение центра круга кривизны и радиус кривизны линии сечения. [c.40] За полоборота радиус пройдет через максимум и минимум. Плоскости, которым отвечают эти экстремальные значения кривизны, пересекают поверхность Е по главным линиям кривизны, ортогонально пересекающимся в точке X. Пентры кругов кривизны главных линий называются фокальными точками поверхности Е. В этих двух точках пересекаются бесконечно близкие нормали к Е, проходящие через главные линии кривизны. Фокальные точки, разумеется, зависят от выбора точки ж Е. Геометрическое место всех фокальных точек совпадает с каустикой к Е. Каустика называется также фокальной поверхностью. [c.41] Каустики плоских кривых изучал еще Гюйгенс в 1650-х годах в связи со своей теорией эволют и эвольвент. В учебнике Лопиталя по анализу бесконечно-малых (1700 г.) рассмотрены задачи об особенностях и перестройках семейств ортогональных плоских кривых. В 1852 г. Кэли исследовал каустику трехосного эллипсоида. В настоящее время теория особенностей систем лучей Гамильтона сильно продвинута и входит составной частью в теорию катастроф (см. обзорную статью [7], а также книгу [9]). Сколько известно автору, особенности систем лучей Куммера в рамках теории катастроф пока не изучались. [c.41] Отметим, что на практике каустики обычно возникают после отражения или преломления системы лучей Гамильтона (рис. 9 и 10). [c.41] Вернуться к основной статье